Estudiar el caràcter de la sèrie

Estudiar el caràcter de la sèrie: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(n + 1)!}$$

Com a primer pas, es comprova la condició necessària de convergència, per la qual una sèrie serà convergent només quan el límit de la successió que l’origina és zero (no sent cert en general el recíproc). En aquest cas, resulta immediat comprovar que

\[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n + 1)!} = 0\]

per comparació d’ordres de l’infinit del potencial i el factorial.

Es compleix la condició necessària de convergència, tot i que això no és possible afirmar que la sèrie sigui convergent. En aquest cas, donat que es tracta d’una sèrie de termes positius (el numerador està elevat al quadrat, i el denominador és un factorial), es podrà aplicar algun dels criteris per aquest tipus de sèries. Aplicant el criteri del cocient:

\[\lambda = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)^2}{(n+2)!}}{\frac{n^2}{(n+1)!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1)^2}{n^2} \cdot \frac{(n + 1)!}{(n + 2)!} =\]

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1)^2}{n^2 (n + 2)} \sim \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\]

Donat que $\lambda = 0 < 1$, es conclou que la sèrie és convergent.