Càracter d’una successió

Determinar el caràcter de la successió $a_n$ en funció del valor del paràmetre $a$; $$a_n = \left(\frac{n + a}{n + 1}\right)^{2n + 2}, \quad a \in \mathbb{R}$$

Se procedeix al càlcul del límit en el infinit:

\[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + a}{n + 1}\right)^{2n + 2} = \{1^\infty\} \quad (\text{indeterminació}),\]

que duu a una indeterminació del tipus $1^\infty$. Per a resoldre-ho, es prenen logaritmes per a la seva resolució:

\[\log L = \lim_{n \to \infty} \log \left(\frac{n + a}{n + 1}\right)^{2n + 2} = \lim_{n \to \infty} (2n + 2) \log \left(\frac{n + a}{n + 1}\right) \sim \lim_{n \to \infty} (2n + 2) \left(\frac{n + a}{n + 1} – 1\right) =\]

\[= \lim_{n \to \infty} (2n + 2) \cdot \frac{n + a – (n + 1)}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n + 2)(a – 1)}{n + 1} = (a – 1) \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 2}{n + 1} = 2(a – 1)\]

Desfent el logaritme se obté el valor del límit:

\[\log L = 2(a – 1) \Rightarrow L = e^{2(a – 1)}\]

Se dedueix per lo tant que la successió serà convergent per a qualsevol valor de $a$ real finit, o bé quan $a = -\infty$. La sèrie serà divergent quan $a = +\infty$.