Estudi de la convergència de sèries

Estudia la convergència de les sèries. a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n n!}{\sqrt{n} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdots (5 + 3n)}$ b) $\sum_{n=1}^{\infty} (a – \sqrt{a})(a – \sqrt[3]{a}) \cdots (a – \sqrt[n]{a}) \quad (a > 0)$

a) $a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n n!}{\sqrt{n} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdots (5 + 3n)}$. Sabem que:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+1} (n+1)!}{\sqrt{n+1} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdots (5 + 3n) (5 + 3(n+1))}}{\frac{3^n n!}{\sqrt{n} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdots (5 + 3n)}} = \frac{3^{n+1} (n+1)!}{\sqrt{n+1} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdots (5 + 3n) (5 + 3(n+1))} \cdot \frac{\sqrt{n} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdots (5 + 3n)}{3^n n!}$$

\[= \left(\frac{n+1}{n}\right) \frac{\frac{1}{2} \cdot 3n + 3}{3n + 8} \to 1.\]

El criteri del cocient no proporciona informació sobre la convergència de la sèrie. Aplicarem el criteri de Raabe en la seva forma alternativa.

\[\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)^n = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 3n + 8}{3n + 3}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} \left(1 + \frac{5}{3n + 3}\right)^n \to e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{5}{3}} = e^2.\]

La sèrie convergeix.

b) $a_n = (a – \sqrt{a})(a – \sqrt[3]{a}) \cdots (a – \sqrt[n]{a})$. Sabem que:

\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = a – \sqrt[n+1]{a} \to a – 1.\]

Per tant, si $a – 1 < 1$, o sia, $0 < a < 2$, la sèrie convergeix; i si $a – 1 < 1$ o sia $a > 2$ la sèrie no convergeix. Para el cas en que $a = 2$ el criteri del cocient no proporciona informació sobre la convergència de la sèrie. Aplicarem el criteri de Raabe.

\[n \left(1 – \frac{a_{n+1}}{a_n}\right) = n \left(1 – \sqrt[n+1]{a}\right) \to \log 2 < 1.\]

La sèrie no convergeix.