Estudi de la convergència d’una sèrie numèrica

Estudia la convergència de les següents sèries on $a > 0$ i $a \in \mathbb{R}$. $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( e – \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^{n^2} \right)$$

Posem $a_n = e^{-(1+\frac{1}{n^2})^n}$. Observa que com que $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^k < e$ per a tot $k \in \mathbb{N}$, es té que $a_n > 0$.

Els criteris del quocient, de l’arrel, de Raabe i els logarítmics no semblen apropiats per estudiar aquesta sèrie. Quan això passa, cal intentar aplicar un criteri de comparació.

Si recordes el límit que hem vist diverses vegades:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{-(1+x)^{1/x}}}{x} = \frac{e}{2},$$

es dedueix que si ${x_n} \to 0$ es verifica l’equivalència asimptòtica:

$$e^{-(1 + x_n)^{1/x_n}} \sim \frac{e}{2} x_n.$$

Per tant:

$$a_n = e^{-(1 + \frac{1}{n^2})^n} \sim \frac{e}{2n^2},$$

i deduïm que la sèrie convergeix pel criteri límit de comparació.

També podem aplicar el criteri bàsic de comparació, utilitzant que per a tot $k \in \mathbb{N}$ es verifica:

$$e < \left(1 + \frac{1}{k}\right)^{k+1}.$$

Amb això s’obté:

$$a_n = e^{-(1 + \frac{1}{n^2})^n} < \left(1 + \frac{1}{n^2} \right)^{n+1} – \left(1 + \frac{1}{n^2} \right)^n = \left(1 + \frac{1}{n^2} \right)^n \cdot \frac{1}{n^2} < e \cdot \frac{1}{n^2}.$$