Estudi de la convergència d’una sèrie

Estudia la convergència de les següents sèries on $a > 0$ i $a \in \mathbb{R}$. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\log(n+1)} \right)^{\log n}$

Posem $a_n = \left( \frac{1}{\log(n+1)} \right)^{\log n}$. Aquí no és apropiat aplicar el criteri del quocient perquè no hi ha factors que es simplifiquin en calcular el quocient d’un terme amb l’anterior.

Es pot aplicar el criteri de l’arrel, però no proporciona informació sobre el caràcter de la sèrie, perquè, com pots comprovar, $\sqrt[n]{a_n} \rightarrow 1$ i $\sqrt[n]{a_n} \leq 1$.

Podem aplicar el primer criteri logarítmic:

$$\frac{\log(a_n)}{\log n} = \log(\log(n+1)) \rightarrow +\infty$$

La sèrie és convergent. Deduïm que es tracta d’una sèrie que convergeix més ràpidament que qualsevol sèrie de Riemann i menys ràpidament que qualsevol sèrie geomètrica.