Estudiar el caràcter de la sèrie en funció del valor del paràmetre

Estudiar el caràcter de la sèrie en funció del valor del paràmetre $a$; $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + 1}{n^a}$$

En aquest cas, donat que es tracta d’una sèrie de termes positius, es podrà aplicar algun dels criteris per aquest tipus de sèries. Aplicant el criteri del cocient, es tindrà que:

\[\lambda = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)^2 + 1}{(n \cdot a)^{n+1}}}{\frac{n^2 + 1}{(n \cdot a)^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{((n + 1)^2 + 1) \cdot (n \cdot a)^n}{(n^2 + 1) \cdot (n \cdot a)^{n+1}} =\]

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a} \cdot \frac{n^3 + 2n + 2n^2}{n^3 + n^2 + n + 1} \sim \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a} \cdot \frac{n^3}{n^3} = \frac{1}{a}\]

A continuació, es estudia el caràcter de la sèrie en funció dels possibles valors de $a$:

• Si $a > 1$, llavors $\lambda < 1$, i per tant la sèrie serà convergent.
• Si $a < 1$, llavors $\lambda > \frac{1}{n^2 + 1}$, i per tant la sèrie serà divergent.
• Si $a = 1$, llavors $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n \cdot a^n} = \infty$, i per tant no es compleix la condició necessària de convergència, és a dir, la sèrie també serà divergent.