Estudiar el caràcter de la sèrie

Estudiar el caràcter de la sèrie: $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n^2}{3n – 2}$$

Es tracta d’una sèrie alternada. Un criteri d’utilitat en aquests casos pot ser el criteri de Leibniz, per el qual, donada una sèrie alternada de la forma $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n$, aquesta serà convergent si es donen dues condicions de manera simultània: i) que $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ i ii) que $u_n$ sigui monòtona decreixent. Comprovem ambdues condicions:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{3^{n-2}} = 0\]

El límit és immediat per comparació d’ordres de l’infinit de les funcions exponencials de numerador (base menor) i denominador (base major).

La segona condició és que $u_n$ sigui monòtona decreixent. Si és així, s’ha de verificar el següent:

\[\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1 \Rightarrow \frac{2^{n+1}}{3^{n-1}} \leq 1 \Rightarrow \frac{2^{n+1} \cdot 3^{n-2}}{2^n \cdot 3^{n-1}} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{2}{3} < 1\]

Lo qual es compleix per a qualsevol valor de $n$, sent per tant monòtona estrictament decreixent.

Per tant, se’n conclou que la sèrie és convergent d’acord amb el criteri de Leibniz.

Alternativament,

podem considerar el teorema del valor absolut, per el qual si la sèrie és absolutament convergent, llavors és convergent. Per a això, n’hi ha prou amb considerar la sèrie en valor absolut i analitzar-la recorrent a algun dels criteris per a sèries de termes positius. A mode d’exemple, apliquem aquí el criteri de Cauchy (o de la raiz) considerant el valor de $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n|}$

\[L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^n}{3^{n-2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{3^{n-2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3^{1 – \frac{2}{n}}} = \frac{2}{3}\]

Com que $L < 1$, es conclou que la sèrie és absolutament convergent, i per tant, convergent.