Demostració que una sèrie és absolutament convergent

Demostrar que si $|a| < 1$, la sèrie és absolutament convergent: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n \log n}{n}$$

Una sèrie de termes qualsevol és absolutament convergent si la sèrie dels seus valors absoluts és convergent. Per tant, es analitza el caràcter de la sèrie:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{a^n \log n}{n} \right| \quad \text{considerant} \quad |a| < 1\]

Es aplica a continuació el criteri del cocient per determinar el seu caràcter:

\[\lambda = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{s_{n+1}}{s_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a^{n+1} \log (n + 1)}{n + 1} \cdot \frac{n}{a^n \log n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a \cdot n \log (n + 1)}{(n + 1) \log n} \right| =\]

\[= |a| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{\log (n + 1)}{\log n} = |a| \cdot 1 \cdot 1 = |a|\]

Per tant, queda demostrat mitjançant el criteri del cocient que si $|a| < 1$, llavors $\lambda < 1$ i per tant la sèrie convergeix.