Comprovar convergència d’una sèrie de termes positius

Donada la sèrie de termes positius, enunciar i comprovar la condició necessària de convergència i estudiar-ne el caràcter: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{3^n \cdot n!}$$

La condició necessària de convergència diu que, donada la sèrie $S_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$, si aquesta és convergent, llavors $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. Es tracta d’una condició necessària de convergència diu que, donada la sèrie \( S_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \), si aquesta és convergent, llavors \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\). Es tracta d’una condició necessària però no suficient. En aquest cas, resulta d’utilitat l’aplicació de la Fòrmula de Stirling per treballar amb el factorial:

\[L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{3^n \cdot n!} \to \left[\frac{\infty}{\infty}\right] \Rightarrow L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{3^n \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^n}{3^n \sqrt{2\pi n}} = 0\]

(per comparació de l’ordre dels infinites de numerador i denominador, ja que \( e < 3 \)). Per tant, es compleix la condició necessària de convergència. Tot i això, no es pot assegurar que la funció sigui convergent.

En aquest cas, per determinar el caràcter de la sèrie aplicarem el criteri del cocient. Asf:

\[\lambda = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1} \cdot (n+1)!}}{\frac{n^n}{3^n \cdot n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1} \cdot 3^n \cdot n!}{3^{n+1} \cdot n! \cdot (n+1)!} =\]

\[= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{3 n^n} = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \to \left[1^\infty\right]\]

S’arriba en aquest punt a una indeterminació del tipus \( 1^\infty \), per a la qual es prenen logaritmes. Es aplica després l’infinitésim equivalent \(\log(a_n) \sim a_n – 1\) quan \( a_n \to 1 \):

\[\lambda = \frac{1}{3} \exp \left\{ \lim_{n \to \infty} \log \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \right\} \sim \frac{1}{3} \exp \left\{ \lim_{n \to \infty} n \left(\frac{n+1}{n} – 1\right) \right\} =\]

\[= \frac{1}{3} \exp \left\{ \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n} \right\} = \frac{1}{3} \exp \left\{ \lim_{n \to \infty} 1 \right\} = \frac{e}{3}\]

Seguint amb el criteri del cocient, donat que \(\lambda < 1\) podem concloure que la sèrie és convergent.