Estudi d’una ona que es propaga en una corda

L’equació d’una ona que es propaga per una corda és: $$y = 0{,}001 \cdot \sin(314t – 62{,}8x)$$

on $x$ i $y$ estan en metres, i $t$ en segons.

a) Determina la velocitat i el sentit de propagació de l’ona. Dibuixa-la indicant l’amplitud i la longitud d’ona, amb els seus valors numèrics.

b) Si la corda fa $2$ metres de llarg, quant temps tarda l’ona a recórrer-la? Compara aquest temps amb el valor del període i torna a representar l’ona, indicant el període.

---

a) Paràmetres de l’ona i sentit de propagació

L’equació general d’una ona harmònica és: $$y(x,t) = A \cdot \sin(\omega t – kx)$$

Comparant amb l’equació donada:

• L’amplitud és:

$$A = 0{,}001 \, \text{m} = 1 \, \text{mm}$$

• La freqüència angular és:

$$\omega = 314 \, \text{rad/s}$$

• El nombre d’ona és:

$$k = 62{,}8 \, \text{rad/m}$$

Longitud d’ona

$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{62{,}8} = \frac{1}{10} = 0{,}1 \, \text{m}$$

Velocitat de propagació

$$v = \frac{\omega}{k} = \frac{314}{62{,}8} = 5 \, \text{m/s}$$

Sentit de propagació

Com que l’argument de la funció sinusoidal és $(314t – 62{,}8x)$, la ona es propaga en el sentit positiu de l’eix $x$.

• Esquerra: representació de l’ona en funció de la posició $x$ en l’instant $t = 0$, amb l’amplitud i la longitud d’ona indicades.
• Dreta: representació de l’ona en funció del temps $t$ en un punt fix $x = 0$, amb el període assenyalat.

---

b) Temps de recorregut i període

Temps per recórrer 2 metres

$$t = \frac{\text{longitud}}{\text{velocitat}} = \frac{2}{5} = 0{,}4 \, \text{s}$$

Període de l’ona

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{314} \approx 0{,}02 \, \text{s}$$

Comparació

$$\frac{0{,}4}{0{,}02} = 20$$

➡️ Per tant, l’ona triga $20$ períodes a recórrer la corda.

---

Resum numèric dels paràmetres:

• Amplitud: $A = 1 \, \text{mm}$
• Longitud d’ona: $\lambda = 0{,}1 \, \text{m}$
• Velocitat: $v = 5 \, \text{m/s}$
• Període: $T = 0{,}02 \, \text{s}$
• Temps per recórrer $2$ m: $0{,}4 \, \text{s}$
• Sentit de propagació: positiu de $x$

---