Determinació dels Valors de a i b perquè una Funció sigui Contínua

Determinem els valors de $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui contínua: $$f(x) = \begin{cases}-3\sin x & \text{si } x < -\frac{\pi}{2} \\ a\sin x + b & \text{si } -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ \cos x & \text{si } x > \frac{\pi}{2}\end{cases}$$

Aclarim que la funció té domini $\mathbb{R}$ i és contínua en tot el seu domini. Com que aquesta funció està definida a trossos, cal assegurar-nos que és contínua en els punts de tall, $x = -\frac{\pi}{2}$ i $x = \frac{\pi}{2}$. Per a això, cal que els límits laterals en aquests punts coincideixin amb el valor de la funció en els punts on es defineixen.

Calculem els límits:

• $\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} (-3\sin x) = -3$,
• $\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} (a\sin x + b) = -a + b$,
• $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} (a\sin x + b) = a + b$,
• $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \cos x = 0$.

Perquè la funció sigui contínua, s’ha de complir:

• $\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(-\frac{\pi}{2})$,
• $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$.

D’aquest sistema, obtenim:

• $-3 = -a + b$,
• $a + b = 0$.

Resolem el sistema:

• De la segona equació: $b = -a$.
• Sustituïm a la primera: $-3 = -a + (-a) = -2a \implies a = \frac{3}{2}$.
• Llavors: $b = -\frac{3}{2}$.

Per tant, els valors que fan que la funció sigui contínua són $a = \frac{3}{2}$ i $b = -\frac{3}{2}$.