Recta Tangent a una Lemniscata

Recta Tangent a una Lemniscata: Determinació de la Recta Tangent a la Lemniscata $(x^2 + y^2)^2 = 8xy$ en el Punt $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$

Primer hem de comprovar que $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ satisfà l’equació de la corba (és immediat); si no, el problema no tindria sentit.

Si pensem $y = y(x)$ en un entorn del punt $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$, la recta tangent en aquest punt tindrà una equació del tipus:
$$y + \sqrt{2} = y'(-\sqrt{2}) (x + \sqrt{2}).$$

Calculem el pendent derivant implícitament respecte de $x$ l’equació que defineix la corba, $(x^2 + y^2)^2 = 8xy$. Tenim:

$$2 (x^2 + y^2) (2x + 2y y’) = 8y + 8x y’.$$

Avaluem l’expressió anterior al punt $x = -\sqrt{2}, y = -\sqrt{2}$. La incògnita és $y'(-\sqrt{2})$:

$$2 \cdot 4 (-2\sqrt{2} – 2\sqrt{2} y'(-\sqrt{2})) = -8\sqrt{2} – 8\sqrt{2} y'(-\sqrt{2}),$$

on:

$$2 + 2y'(-\sqrt{2}) = 1 + y'(-\sqrt{2}) \implies y'(-\sqrt{2}) = -1.$$

L’equació de la recta tangent és, doncs, $y + \sqrt{2} = -(x + \sqrt{2})$, o bé $x + y + 2\sqrt{2} = 0$.