Càlcul de les Funcions Inverses

Volem trobar les funcions inverses, si existeixen, de les següents funcions:

• $f(x) = \sqrt{4x – 7}$
• $g(x) = \frac{2x – 3}{x + 6}$

1. Funció $f(x) = \sqrt{4x – 7}$

Pas 1: Determinar el domini
Perquè la funció sigui definida, l’argument del quadrat ha de ser no negatiu:
$$4x – 7 \geq 0 \implies 4x \geq 7 \implies x \geq \frac{7}{4}$$
Així, el domini de $f(x)$ és $x \geq \frac{7}{4}$.

Pas 2: Trobar la funció inversa
Per trobar l’inversa, intercanviem $x$ i $y$ i resolvem per $y$:

• Suposem $y = f(x) = \sqrt{4x – 7}$.
• Intercanviem: $x = \sqrt{4y – 7}$.
• Elevem al quadrat ambdós costats (tenint en compte que $x \geq 0$ perquè és el resultat d’una arrel quadrada):
  $$x^2 = 4y – 7$$
• Resolem per $y$:
  $$4y = x^2 + 7 \implies y = \frac{x^2 + 7}{4}$$
• Anomenem l’inversa $f^{-1}(x) = \frac{x^2 + 7}{4}$.

Pas 3: Determinar el domini i recorregut de l’inversa

• Com que $x = \sqrt{4y – 7} \geq 0$, l’inversa només és vàlida per $x \geq 0$.
• El recorregut de $f(x)$ és $y \geq 0$ (perquè és una arrel quadrada), i això coincideix amb el domini de $f^{-1}(x)$.

Pas 4: Verificar

• $f(f^{-1}(x)) = \sqrt{4 \cdot \frac{x^2 + 7}{4} – 7} = \sqrt{x^2 + 7 – 7} = \sqrt{x^2} = |x|$, però com $x \geq 0$, $|x| = x$.
• $f^{-1}(f(x)) = \frac{(\sqrt{4x – 7})^2 + 7}{4} = \frac{4x – 7 + 7}{4} = \frac{4x}{4} = x$.

L’inversa existeix i és $f^{-1}(x) = \frac{x^2 + 7}{4}$ amb domini $x \geq 0$.

2. Funció $g(x) = \frac{2x – 3}{x + 6}$

Pas 1: Determinar el domini
La funció no està definida quan el denominador és zero:
$$x + 6 \neq 0 \implies x \neq -6$$
Així, el domini de $g(x)$ és tots els reals excepte $x = -6$.

Pas 2: Trobar la funció inversa

• Suposem $y = g(x) = \frac{2x – 3}{x + 6}$.
• Intercanviem $x$ i $y$: $x = \frac{2y – 3}{y + 6}$.
• Resolem per $y$:
  $$x (y + 6) = 2y – 3$$
  $$xy + 6x = 2y – 3$$
  $$xy – 2y = -3 – 6x$$
  $$y (x – 2) = -3 – 6x$$
  $$y = \frac{-3 – 6x}{x – 2} = \frac{6x + 3}{2 – x} \quad (\text{simplificant i canviant el signe del denominador})$$
• Anomenem l’inversa $g^{-1}(x) = \frac{6x + 3}{2 – x}$.

Pas 3: Determinar el domini i recorregut de l’inversa

• El domini de $g^{-1}(x)$ requereix que el denominador no sigui zero: $2 – x \neq 0 \implies x \neq 2$.
• El recorregut de $g(x)$ és tots els reals excepte el valor de $g(-6)$, que cal calcular:
  $$g(-6) = \frac{2(-6) – 3}{-6 + 6} \quad (\text{indeterminat, però limitant-nos al domini})$$
  Com que $g(x) \to 2$ quan $x \to \infty$ i $g(x) \to -1$ quan $x \to -\infty$, el recorregut és tots els reals excepte possiblement valors específics, però el domini de $g^{-1}(x)$ és $x \neq 2$.

Pas 4: Verificar

• $g(g^{-1}(x)) = \frac{2 \cdot \frac{6x + 3}{2 – x} – 3}{\frac{6x + 3}{2 – x} + 6}$ és complex, però simplificant es pot comprovar que condueix a $x$ (amb càlculs algebraics).
• Igualment, $g^{-1}(g(x))$ hauria de donar $x$.

L’inversa existeix i és $g^{-1}(x) = \frac{6x + 3}{2 – x}$ amb domini $x \neq 2$.

Resposta final:

• $f^{-1}(x) = \frac{x^2 + 7}{4}$, domini $x \geq 0$.
• $g^{-1}(x) = \frac{6x + 3}{2 – x}$, domini $x \neq 2$.

Les gràfiques de les funcions i les seves inverses:

• A l’esquerra: $f(x) = \sqrt{4x – 7}$ (en blau) i $f^{-1}(x) = \frac{x^2 + 7}{4}$ (en vermell).
• A la dreta: $g(x) = \frac{2x – 3}{x + 6}$ (en verd) i $g^{-1}(x) = \frac{6x + 3}{2 – x}$ (en taronja).
• La recta grisa $y = x$ mostra la simetria característica entre una funció i la seva inversa.