Estudi de la relació entre hores d’estudi i nota mitjana

Es recullen dades sobre les hores d’estudi setmanals ($x$) i les notes mitjanes ($y$) de 10 estudiants: [(2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 6), (6, 8), (7, 9), (8, 7), (9, 8), (10, 9), (12, 10)]. a) Calcula la recta de regressió de $y$ sobre $x$. b) Determina el coeficient de correlació lineal i interpreta el resultat. c) Prediu la nota mitjana d’un estudiant que estudia 11 hores setmanals.

Per calcular la recta de regressió $y = a + bx$, necessitem les següents sumes:

\begin{align} n &= 10 \\ \sum x &= 66, \quad \sum y = 75 \\ \sum x^2 &= 528, \quad \sum y^2 = 581 \\ \sum xy &= 533 \\ \end{align}

Calculem la pendent $b$ i l’ordenada a l’origen $a$:

\begin{align} \bar{x} &= \frac{\sum x}{n} = \frac{66}{10} = 6.6 \ \bar{y} &= \frac{\sum y}{n} = \frac{75}{10} = 7.5 \ b &= \frac{\sum xy – n \bar{x} \bar{y}}{\sum x^2 – n \bar{x}^2} = \frac{533 – 10 \cdot 6.6 \cdot 7.5}{528 – 10 \cdot (6.6)^2} = \frac{533 – 495}{528 – 435.6} = \frac{38}{92.4} \approx 0.411 \ a &= \bar{y} – b\bar{x} = 7.5 – 0.411 \cdot 6.6 \approx 4.787 \end{align}

Per tant, la recta de regressió és:

$$\boxed{y = 4.787 + 0.411x}$$

b) COEFICIENT DE CORRELACIÓ: $\textbf{Determina el coeficient de correlació lineal i interpreta el resultat.}$

La fórmula del coeficient de correlació $r$ és:

$$r = \frac{n\sum xy – \sum x \sum y}{\sqrt{(n\sum x^2 – (\sum x)^2)(n\sum y^2 – (\sum y)^2)}}$$

\begin{align} r &= \frac{10 \cdot 533 – 66 \cdot 75}{\sqrt{(10 \cdot 528 – 66^2)(10 \cdot 581 – 75^2)}} = \frac{5330 – 4950}{\sqrt{(5280 – 4356)(5810 – 5625)}} \ &= \frac{380}{\sqrt{924 \cdot 185}} = \frac{380}{\sqrt{170940}} \approx \frac{380}{413.4} \approx 0.919 \end{align}

$\textbf{Interpretació:}$ Com que $r \approx 0.919$, hi ha una $\textbf{forta correlació positiva}$ entre les hores d’estudi i les notes mitjanes. Això vol dir que, en general, a més hores d’estudi, millors són les notes.

c) $\textbf{Prediu la nota mitjana d’un estudiant que estudia 11 hores setmanals.}$

Substituïm $x = 11$ a la recta de regressió:

$$y = 4.787 + 0.411 \cdot 11 = 4.787 + 4.521 = \boxed{9.308}$$

Per tant, s’espera que un estudiant que estudia 11 hores obtingui una nota mitjana d’aproximadament $\textbf{9.31}$.