Estudi de la relació entre altura i pes

S’han mesurat l’altura (en cm, variable $x$) i el pes (en kg, variable $y$) de 8 persones: $$(160, 55), (165, 60), (170, 65), (175, 70), (180, 75), (185, 80), (190, 85), (195, 90)$$ a) Calcula el coeficient de correlació lineal i comenta si hi ha una relació lineal forta entre les variables. b) Determina la recta de regressió de $y$ sobre $x$. c) Si una persona mesura $178$ cm, quin seria el seu pes estimat segons la recta de regressió?

Calcula el coeficient de correlació lineal i comenta si hi ha una relació lineal forta.

Primer calculem les sumes necessàries:

\begin{align} n &= 8 \\ \sum x &= 1420,\quad \sum y = 580 \\ \sum x^2 &= 252100,\quad \sum y^2 = 42900 \\ \sum xy &= 104000 \end{align}

La fórmula del coeficient de correlació és:

$$r = \frac{n\sum xy – \sum x \sum y}{\sqrt{(n\sum x^2 – (\sum x)^2)(n\sum y^2 – (\sum y)^2)}}$$

Substituint valors:

\begin{align} r &= \frac{8 \cdot 104000 – 1420 \cdot 580}{\sqrt{(8 \cdot 252100 – 1420^2)(8 \cdot 42900 – 580^2)}} \\ &= \frac{832000 – 823600}{\sqrt{(2016800 – 2016400)(343200 – 336400)}} \\ &= \frac{8400}{\sqrt{400 \cdot 6800}} = \frac{8400}{\sqrt{2720000}} \\ &= \frac{8400}{1649.24} \approx \boxed{0.5094} \end{align}

Comentari: El valor $r \approx 0.51$ indica una \textbf{correlació positiva moderada}, no gaire forta, però sí que mostra una certa tendència lineal entre altura i pes.

b) RECTA DE REGRESSIÓ. Determina la recta de regressió de $y$ sobre $x$.

Calculem la pendent $b$ i l’ordenada a l’origen $a$:

\begin{align} \bar{x} &= \frac{1420}{8} = 177.5, \quad \bar{y} = \frac{580}{8} = 72.5 \\ b &= \frac{\sum xy – n \bar{x} \bar{y}}{\sum x^2 – n \bar{x}^2} = \frac{104000 – 8 \cdot 177.5 \cdot 72.5}{252100 – 8 \cdot (177.5)^2} \\ &= \frac{104000 – 102800}{252100 – 252100} = \frac{1200}{0} \end{align}

ATENCIÓ: L’últim pas mostra una divisió per zero. Això indica que les dades estan perfectament alineades i la relació és exactament lineal amb:

$$b = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{90 – 55}{195 – 160} = \frac{35}{35} = 1, \quad
a = \bar{y} – b \bar{x} = 72.5 – 1 \cdot 177.5 = -105$$

Així doncs, la recta és:

$$\boxed{y = -105 + x}$$

c) PREDICCIÓ. Si una persona mesura $178$ cm, quin seria el seu pes estimat?

Substituïm $x = 178$ a la recta:

$$y = -105 + 178 = \boxed{73}$$

Així, el pes estimat d’una persona que fa $178$ cm és de $73$ kg.