Estudi de la diagonalitzabilitat d’una matriu A

1. Resol l’equació característica det(A − λI) = 0. Els arrels d’aquesta equació són els valors propis. Les multiplicitats d’aquestes arrels són les multiplicitats algebraiques corresponents. – **En el cas real:** si algun valor propi no és real, llavors la matriu A no és diagonalitzable. – Si les multiplicitats algebraiques de tots els valors propis són iguals a 1, llavors la matriu és diagonalitzable.

2. Calcula les dimensions dels subespais propis Eλ(A). Aquestes dimensions són les multiplicitats geomètriques dels valors propis.

3. Estudia si cada valor propi amb multiplicitat algebraica més gran que 1 és geomètricament complet, és a dir, si les multiplicitats algebraica i geomètrica coincideixen. – Si és així, la matriu és diagonalitzable; en cas contrari, no ho és. En cas que la matriu sigui diagonalitzable:

4. La matriu D és la diagonal dels valors propis, \[ D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} \] (repetint tantes vegades com indiqui la seva multiplicitat).

5. Cerca una base de cada subespai propi.

6. Construeix la base B com a unió de les bases que has obtingut, \[ B = \{ \vec{p}_1, \vec{p}_2, \ldots, \vec{p}_n \}, \text{ i la matriu } P = \begin{bmatrix} \vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix} \] – Per a que l’ordenació dels vectors i els valors propis sigui coherent: cada \(\vec{p}_i\) ha de ser un vector propi associat al valor propi \(\lambda_i\).