Estudi de la Convergència de la Sèrie

Determinau la convergència de la sèrie $$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{3^n}.$$

En primer lloc, calculem el radi de convergència de la sèrie. El terme general és ( a_n = \frac{1}{3^n} ). Llavors,

$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{3^n}}{\frac{1}{3^{n+1}}} \right| = 3.$$

Per tant, l’interval associat és $(-3, 3)$. Estudiem el caràcter de la sèrie als extrems, és a dir, als punts $x = 3$ i $x = -3$.

Si $x = 3$, tenim la sèrie numèrica

$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} 1,$$

que és divergent. Si $x = -3$, la sèrie és

$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n}{3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n,$$

que també és divergent. D’aquí podem concloure que la nostra sèrie és convergent si $|x| < 3$ i divergent si $|x| \geq 3$.