Anàlisi Geomètrica de la Corba Parametritzada C

Considereu la corba parametritzada $$C : \mathbf{r}(t) = (\cos t + t \sin t, \sin t – t \cos t), \quad 0 \leq t \leq 2\pi.$$

a) Determineu la parametrització pel paràmetre arc de $C$.

b) Per a la corba $C$ i el punt $t = \frac{\pi}{2}$, calculeu-ne la curvatura, la recta tangent, la recta normal i el pla osculador.

a) En el nostre cas,

$$\mathbf{r}'(t) = (-\sin t + \sin t + t \cos t, \cos t – \cos t + t \sin t) = (t \cos t, t \sin t), \quad t \in [0, 2\pi].$

El mòdul del vector velocitat és $|\mathbf{r}'(t)| = t$, ja que

$$\mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{r}'(t) = t^2 (\sin^2 t + \cos^2 t) = t^2 = |t| = t \quad (\text{per ser } t \geq 0).$$

a) Aleshores, el paràmetre arc ve donat per

$$s(t) = \int_0^t |\mathbf{r}'(u)| \, du = \int_0^t u \, du = \frac{t^2}{2}.$$

Nosaltres volem la inversa de $s = \frac{t^2}{2}$, que és $t = \pm \sqrt{2s}$, i, com que $t \geq 0$, prenem $t = t(s) = \sqrt{2s}$. Estudiem el domini de la $s$:

$$t = 0 \rightarrow s = 0; \quad t = 2\pi \rightarrow s = \frac{(2\pi)^2}{2} = 2\pi^2.$$

Llavors, la parametrització per l’arc és

$$\sigma(s) = \mathbf{r}(t(s)) = \mathbf{r}(\sqrt{2s}), \quad s \in [0, 2\pi^2],$$

és a dir,

$$\sigma(s) = \left( \cos \sqrt{2s} + \sqrt{2s} \sin \sqrt{2s}, \sin \sqrt{2s} – \sqrt{2s} \cos \sqrt{2s} \right), \quad s \in [0, 2\pi^2].$$

b) En aquest apartat, podem aprofitar la parametrització per l’arc obtinguda anteriorment. Notem que

$$t = \frac{\pi}{2} \rightarrow s = \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}{2} = \frac{\pi^2}{8}.$$

• Curvatura. Atès que $k\left(\frac{\pi^2}{8}\right) = \left| \sigma»\left(\frac{\pi^2}{8}\right) \right|$, necessitem calcular aquest vector acceleració. La velocitat de la corba és el vector tangent:

$$\sigma'(s) = \left( \cos \sqrt{2s}, \sin \sqrt{2s} \right).$$

L’acceleració serà, doncs,

$$\sigma»(s) = \left( -\frac{1}{\sqrt{2s}} \sin \sqrt{2s}, \frac{1}{\sqrt{2s}} \cos \sqrt{2s} \right).$$

Per tant,

$$\sigma»\left(\frac{\pi^2}{8}\right) = \left( -\frac{2}{\pi}, 0 \right)$$

i la curvatura és

$$\frac{2}{\pi}.$$

• Recta tangent. El punt corresponent és $\sigma\left(\frac{\pi^2}{8}\right) = \mathbf{r}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$, i el vector director, $\sigma’\left(\frac{\pi^2}{8}\right) = (0, 1)$. Aleshores, obtenim la recta tangent

$$\frac{x – \frac{\pi}{2}}{0} = \frac{y – 1}{1},$$

que és la recta vertical $x = \frac{\pi}{2}$.

• Recta normal. Com que la recta tangent és vertical, la recta normal ha de ser la recta horitzontal que passa pel punt $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$. Directament, aconseguim $y = 1$.
• Pla osculador. Hem d’esbrinar el pla determinat pels vectors tangent i normal a la corba. En el cas particular que la corba sigui plana, com en el nostre exercici, el pla osculador és el pla que la conté. La corba $C$ pertany al pla $XY$, és a dir, $z = 0$.