Anàlisi del Caràcter de la Sèrie

ESTUDIEU EL CARÀCTER DE LA SÈRIE $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n + \ln \sqrt{n}}$

Com que $\frac{1}{n + \ln \sqrt{n}} > 0$, podem utilitzar el criteri de comparació per pas al límit, comparant-la amb la sèrie harmònica $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ de la qual coneixem la divergència. Observem que

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n + \ln \sqrt{n}}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + \ln \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + \frac{1}{2} \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{2} \frac{\ln n}{n}}.$$

Per calcular el límit de la successió que apareix al denominador, considerem la seva funció associada i hi apliquem la regla de L’Hôpital:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = 0$$

i, per tant,

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{2} \frac{\ln n}{n}} = 1.$$

Les dues sèries tenen, doncs, el mateix caràcter; és a dir, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n + \ln \sqrt{n}}$ és divergent.