Aproximació de la Funció amb el Polinomi de Taylor de Grau 2

TROBA LA PARÀBOLA QUE APROXIMA MILLOR LA FUNCIÓ

$$f(x) = e^{\int_0^x \frac{t+1}{\sqrt{t^2+1}} dt}$$

EN UN ENTORN DEL PUNT $a = 0$.

La paràbola que aproxima millor una funció en un punt és el seu polinomi de Taylor de grau 2 en aquell punt. En el cas que ens ocupa,

$$P_{2,0}f(x) = f(0) + f'(0)x + f”(0)\frac{x^2}{2}.$

Per trobar-lo, necessitem $f(0)$, $f'(0)$ i $f”(0)$. Substituint $x = 0$ a la funció veiem que $f(0) = 1$.

Per calcular la primera derivada, hem d’aplicar el teorema fonamental del càlcul. Podem fer-ho ja que la funció

$$\frac{t+1}{\sqrt{t^2+1}}$$

és contínua per a tot $t$, i la funció $x^2$ és derivable per a tot $x$. Així,

$$f'(x) = e^{\int_0^x \frac{t+1}{\sqrt{t^2+1}} dt} \cdot \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}} 2x.$$

Per tant, $f'(0) = 1$. La segona derivada la calculem a partir de $f'(x)$. Sense simplificar, tenim

$$f”(x) = e^{\int_0^x \frac{t+1}{\sqrt{t^2+1}} dt} \cdot \frac{(6x^2 + 2)\sqrt{x^2+1} – (2x^3 + 2x) \cdot \frac{8x^2}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}.$$

Fent $x = 0$, s’obté $f”(0) = 3$.

Finalment, el polinomi de Taylor de grau 2 queda

$$P_{2,0}f(x) = 1 + x + \frac{3}{2}x^2.$$