Estudi convergència d’una sèrie

Estudia la convergència de les següent sèrie on $a > 0$ i $a \in \mathbb{R}$. $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{1/2}}{2^n}$$

Sigui
$$a_n = \frac{\sqrt{n}}{2^n}.$$
Com que $a_n > 0$ per a tot $n \in \mathbb{N}$, podem aplicar el \textit{criteri del quocient}:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}
= \frac{\frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}}}{\frac{\sqrt{n}}{2^n}}
= \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{2}
= \frac{1}{2} \sqrt{1 + \frac{1}{n}}.$$
Així,
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}
= \frac{1}{2} < 1.$$
Per tant, pel criteri del quocient, la sèrie
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{2^n}$$
convergeix (i, com que els termes són positius, convergeix absolutament).

$\textbf{Comentari:}$ més en general, per a qualsevol $a \in \mathbb{R}$,
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a}{2^n}$$
també convergeix, ja que el creixement exponencial de $2^n$ domina qualsevol creixement polinòmic.