Estudi convergència d’una sèrie

Estudia la convergència de les següents sèries on $a > 0$ i $a \in \mathbb{R}$. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^n}{n^{n+2}}$

Posem
$$a_n = \frac{(n+1)^n}{n^{n+2}}.$$
Apliquem el criteri del quocient:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}
= \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+3}} \cdot \frac{n^{n+2}}{(n+1)^n}
= \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+3} \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n} \frac{n^2}{(n+2)^2}.$$
Això és
$$= \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+3} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^{n} \frac{n^2}{n^2 + 4n + 4}
\to e \cdot \frac{1}{e} \cdot 1 = 1.$$
A més,
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq 1,$$
per tant el criteri del quocient no proporciona informació sobre la convergència d’aquesta sèrie. Quan això passa, també succeeix amb el criteri de l’arrel. Això ens indica que la sèrie no és comparable amb una sèrie geomètrica. El criteri de Raabe no sembla fàcil d’aplicar. Podem intentar el primer criteri logarítmic. Tenim que:
$$\frac{-\log(a_n)}{\log n}
= \frac{-n \log(n+1) + (n+2) \log n}{\log n}
= \frac{n \log \frac{n}{n+1} + 2 \log n}{\log n}
\to 2 > 1.$$
Per tant la sèrie és convergent. Aquest criteri ens diu que la sèrie $\sum a_n$ és comparable amb una sèrie de Riemann d’exponent $\alpha = 2$. Efectivament, això és fàcil de comprovar. Si ens fixem en $a_n$ i recordem que la successió
$$\left( \frac{n+1}{n} \right)^{n}$$
és creixent i convergeix a $e$, de seguida veiem que:
$$a_n = \frac{(n+1)^n}{n^{n+2}}
= \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n} \frac{1}{n^2}
\leq \frac{e}{n^2},$$
la qual cosa permet concloure, pel criteri de comparació, que la sèrie és convergent.

$\textbf{Observació.}$ Abans de començar a aplicar criteris de convergència, fixa’t bé en la forma que té el terme general de la sèrie i intenta relacionar-lo amb alguna successió coneguda.