Equilibri estàtic braç sosté una bola

La figura mostra un braç (massa $m = 3,50 \, \text{kg}$) sostenint una bola de massa $M$. S’indiquen les forces que actuen i els seus respectius punts d’aplicació. Si el múscul deltoide, que s’insereix formant un angle $\alpha = 15,4^\circ$, pot suportar com a màxim una tensió $T = 2500 \, \text{N}$, calcula quin és el màxim valor de la massa $M$ que pot sostenir-se, amb el braç estès, i quin és el valor de la força de reacció $R$ indicada en la figura (mòdul i angle respecte a l’horitzontal).

Equilibri de moments respecte al punt $O$: \[\sum M_O = 0 \implies -a \cdot T \sin \alpha + 2a \cdot mg + (2a + b) Mg = 0\]D’aquesta equació desempeguem la massa màxima $M$ corresponent a la màxima tensió $T$:\[M = \frac{a T \sin \alpha – 2a mg}{(2a + b)g} = \frac{0,15 \cdot 2500 \cdot \sin 15,4^\circ – 2 \cdot 0,30 \cdot 3,5 \cdot 9,8}{(0,30 + 0,40) \cdot 9,8} = 13 \, \text{kg}\]

Equilibris de forces: \[\begin{cases}\sum F_x = 0 \\\sum F_y = 0\end{cases}\implies\begin{cases}T \sin \alpha – R \sin \theta – mg – Mg = 0 \\-T \cos \alpha + R \cos \theta = 0\end{cases}\]\[R \sin \theta = T \sin \alpha – mg – Mg\]\[R \cos \theta = T \cos \alpha\]\[\tan \theta = \frac{T \sin \alpha – mg – Mg}{T \cos \alpha} = 0,2083 \implies \theta = 11,7^\circ\]\[R = \frac{T \cos \alpha}{\cos \theta} \implies R = 2462 \, \text{N}\]