Equilibri Estàtic en la Creu de Ferro

Un atleta de 60 kg i 1,70 m d’estatura realitza l’exercici de la “Creu de Ferro”, en què manté el seu cos immòbil amb els braços estesos horitzontalment segons es mostra en la fotografia. L’angle que formen els cordons de les anelles amb la vertical és de $\theta = 10^\circ$ (vegeu l’esquema 1). Es demana: a) La tensió $T$ de les cordes que subjecten les anelles. b) Considerant cada braç de l’atleta com una barra rígida horitzontal formada per les forces indicades en l’esquema 2, calcular el valor de les components en els eixos $X$ i $Y$, $R_x$ i $R_y$, i el valor de la reacció $R$ i l’angle $\beta$. $W$ és el pes del braç, aplicat a la meitat de la seva longitud. \\$R$ és la reacció en l’articulació de l’espatlla $O$. \\$R_x$ i $R_y$ són les components horitzontal i vertical de la reacció aplicada a l’articulació de l’espatlla $O$.

a) Per mantenir-se immòbil en la posició indicada, el pes de l’atleta ha d’estar compensat per les tensions dels cordons que subjecten les anelles. Vegeu el DSL a la dreta.(Nota: com que estem considerant com a sistema a estudi el cos de l’atleta i com que les forces exteriors que actuen sobre ell en equilibri són iguals per simetria, les tensions són de la mateixa magnitud) \[\sum F_y = 2T \cos \theta – Mg = 0\]\[T = \frac{Mg}{2 \cos \theta} = \frac{60 \cdot 9,8}{2 \cos 10^\circ} = 298,5 \, \text{N}\]

b) Considerem un braç com a sistema, plantegem l’equilibri estàtic de la barra rígida que representa tenint en compte les forces exteriors que actuen sobre la barra. Aquestes forces exteriors són: la tensió $T$ del cordó que subjecta l’anella corresponent, el pes del braç $W$, i la reacció $R$ exercida per l’articulació de l’espatlla (és a dir, la força de reacció exercida per la resta del cos).Massa i longitud del braç (indicacions de l’enunciat): \\$m = 0,03 \cdot M = 0,03 \cdot 60 = 1,8 \, \text{kg}$ \\$L = 0,35 \cdot 1,70 = 0,595 \, \text{m}$Pes del braç: \\$W = mg = 1,8 \cdot 9,8 = 17,64 \, \text{N}$Equilibri de forces: \\\[\sum F_y = -R \sin \beta – W + T \cos 10^\circ = 0\]\[R \sin \beta = -W + T \cos 10^\circ\]\[\sum F_x = R \cos \beta – T \sin 10^\circ = 0\]\[R \cos \beta = T \sin 10^\circ\]\[\tan \beta = \frac{-W + T \cos 10^\circ}{T \sin 10^\circ} = \frac{-17,64 + 298,5 \cos 10^\circ}{298,5 \sin 10^\circ} = 5,3310\]\[\beta = 79^\circ\]\[R_x = R \cos \beta = T \sin 10^\circ = 298,5 \sin 10^\circ = 51,8 \, \text{N}\]\[R_y = R \sin \beta = -W + T \cos 10^\circ = -17,64 + 298,5 \cos 10^\circ = 276,4 \, \text{N}\]\[R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{51,8^2 + 276,4^2} = 281,2 \, \text{N}\]