Equilibri d’un Sistema de Càrregues en un Triangle Equilàter

En els vèrtexs d’un triangle equilàter de costat $L$ s’han situat tres càrregues negatives $-e$. Si al centre de gravetat del triangle es col·loca una càrrega de magnitud $Q$, determineu el valor que ha de tenir aquesta càrrega per mantenir el sistema en equilibri.

En aquest problema s’aprecia una simetria respecte a la càrrega (Q), ja que totes les càrregues negatives senten la mateixa força d’atracció/repulsió. Per exemple, fent el DCL a la càrrega superior s’obté el següent.

Les forces $\vec{F}_1$ i $\vec{F}_2$ són repulsives (generades per les altres càrregues negatives), mentre que la força $\vec{F}_3$ generada per la càrrega $Q$ positiva és atractiva. Usant el sistema de referència de la Figura i la Llei de Coulomb, és possible descompondre les forces de la següent forma:
$$\vec{F}_1 = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 L^2} \left( -\hat{x} \cos \frac{\pi}{3} + \hat{y} \sin \frac{\pi}{3} \right),$$
$$\vec{F}_2 = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 L^2} \left( \hat{x} \cos \frac{\pi}{3} + \hat{y} \sin \frac{\pi}{3} \right),$$
$$\vec{F}_3 = -\frac{e Q}{4\pi \epsilon_0 d^2} \hat{y}$$
on $d$ és la distància des de qualsevol vèrtex al centre del triangle. Usant el Teorema del Cos, és possible desxifrar $d$ com:
$$L^2 = d^2 + d^2 – 2d^2 \cos \frac{2\pi}{3} \implies d^2 = \frac{L^2}{3}$$
per tant, la força total val:
$$\vec{F}_T = \left( \frac{e^2}{2\pi \epsilon_0 L^2} \sin \frac{\pi}{3} – \frac{3e Q}{4\pi \epsilon_0 L^2} \right) \hat{y}$$

Davant que es desitja que el sistema estigui en equilibri, s’imposa $\vec{F}_T = 0$, obtenint-se que:
$$\frac{e^2}{2\pi \epsilon_0 L^2} \sin \frac{\pi}{3} – \frac{3e Q}{4\pi \epsilon_0 L^2} = 0 \implies Q = \frac{e}{\sqrt{3}} \cdot 3 = \frac{e}{\sqrt{3}}$$