Índex de refracció

A continuació s’analitza una ona electromagnètica que es propaga en un medi amb un camp elèctric $\vec{E}$ (en unitats SI) donat per: $$E_x = 0$$ $$E_y = 30 \cdot \operatorname{sen} \left[ 2\pi \left( 5 \cdot 10^{14} t – \frac{x}{4 \cdot 10^{-7}} \right) \right] \, \text{V/m}$$ $$E_z = 0$$ a) Determinar la freqüència d’oscil·lació i el període del camp elèctric. b) Calcular el valor de la longitud d’ona en el medi, l’índex de refracció del medi per a aquesta freqüència i el valor de la longitud d’ona de l’esmentada ona electromagnètica en el buit. c) Indicar l’estat de polarització del camp elèctric. d) Escriure l’expressió del camp $\vec{B}(t, x)$ associat amb l’ona electromagnètica en el buit.

a) $$\omega = 2\pi f \rightarrow f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2\pi \cdot 5 \cdot 10^{14} \, \text{r/s}}{2\pi} = 5 \cdot 10^{14} \, \text{Hz}$$

a) $$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5 \cdot 10^{14} \, \text{Hz}} = 2 \cdot 10^{-15} \, \text{s}$$

b) $$\beta = \frac{2\pi}{\lambda} \rightarrow \lambda = \frac{2\pi}{\beta} = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{4 \cdot 10^{-7} \, \text{rad/m}}} = 4 \cdot 10^{-7} \, \text{m}$$

$$n = \frac{c}{v} = \frac{3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}}{v} \rightarrow v = \lambda \cdot f = 4 \cdot 10^{-7} \, \text{m} \cdot 5 \cdot 10^{14} \, \text{Hz} = 2 \cdot 10^8 \, \text{m/s}$$

$$n = \frac{c}{v} = \frac{3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}}{2 \cdot 10^8 \, \text{m/s}} = 1,5$$

$$c = \lambda \cdot f \rightarrow \lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}}{5 \cdot 10^{14} \, \text{Hz}} = 6 \cdot 10^{-7} \, \text{m}$$

c) El camp elèctric està polaritzat o té component en l’eix $y$.

d) $$\vec{B}(t, x) = B_M \operatorname{sen}(\omega t + \beta x) \pm \vec{a}_z$$

$$E_M = c \cdot B_M \rightarrow B_M = \frac{E_M}{c} = \frac{30 \, \text{V/m}}{3 \cdot 10^8 \, \text{m/s}} = 1 \cdot 10^{-7} \, \frac{\text{Wb}}{\text{m}^2} \, \text{o} \, \text{T}$$

$\pm \vec{a}_z$ es dedueix per vector de Poynting:

$$\vec{a}_y \times \vec{a}_z = \vec{a}_x$$

perquè el producte vectorial sigui correcte, la direcció i sentit han de ser zeta positiva. Finalment:
$$\vec{B}(t, x) = 1 \cdot 10^{-7} \operatorname{sen} \left[ 2\pi \left( 5 \cdot 10^{14} t – \frac{x}{4 \cdot 10^{-7}} \right) \right] \vec{a}_z \, \text{T}$$