Comparació entre una Nova Llei Experimental i la Llei de Coulomb per a Camps Elèctrics

Suposeu que en lloc de la Llei de Coulomb, s’hagués trobat experimentalment que la força entre dues càrregues puntuals fos: $$\vec{F}_{12} = \frac{q_1 q_2}{4\pi \epsilon_0} \left( 1 – \sqrt{\alpha |\vec{r}_2 – \vec{r}_1|} \right) \frac{(\vec{r}_2 – \vec{r}_1)}{|\vec{r}_2 – \vec{r}_1|^3}$$ on $\alpha$ és una constant.

a) Escriviu el camp elèctric d’una càrrega puntual. Col·loqueu l’origen de coordenades a la càrrega puntual.

b) Trieu una trajectòria tancada al voltant de la càrrega i calculeu la integral $\oint \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$. Compareu el resultat obtingut amb la Llei de Coulomb.

c) Trobeu el valor de la integral $\iint \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$ sobre una superfície esfèrica centrada a la càrrega. Compareu el resultat obtingut amb la Llei de Coulomb.

a) Col·locant la càrrega $q_1$ a l’origen, es té $\vec{r}_1 = 0$. Llavors anomenant $q_1 = q$ i recordant que $\vec{F} = q_2 \vec{E}$, es pot obtenir que:
$$\vec{F} = \frac{q_2 q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{(1 – \sqrt{\alpha |\vec{r}_2|})}{|\vec{r}_2|^3} \vec{r}_2 = q_2 \vec{E} = \frac{q_2 q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{(1 – \sqrt{\alpha |\vec{r}_2|})}{|\vec{r}_2|^3} \vec{r}_2$$

Com la direcció de la força i el camp és radial, podem dir que $\vec{r}_2 = r \hat{r}$. Finalment:
$$\vec{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{(1 – \sqrt{\alpha r})}{r^2} \hat{r}$$

b) És suficient prendre una trajectòria tancada $\Gamma$, per exemple, una circumferència de radi $R$ al voltant de la càrrega. En aquest cas, es té que la corba quedaria parametritzada com:
$$\oint_\Gamma \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \int_0^{2\pi} \vec{E}_r \cdot R \mathrm{d}\theta \hat{\theta} = 0$$

Per al cas de la llei de Coulomb, es té que el camp és sempre conservatiu, és a dir $\nabla \times \vec{E} = 0$, per la qual cosa $\oint_\Gamma \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = 0$ per a qualsevol camí tancat $\Gamma$. Es conclou que la llei de Coulomb i la llei trobada experimentalment donen el mateix resultat.

c) Per a aquest cas, cal calcular una integral de flux. Per simplificar, es tria una esfera de radi $R$ centrada a l’origen. Llavors el flux sobre la superfície és:
$$\iint_{\Sigma_2} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{(1 – \sqrt{\alpha R})}{R^2} r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi = \frac{q}{\epsilon_0} (1 – \sqrt{\alpha R})$$

Per al cas de la llei de Coulomb, es sap que aquesta integral és coneguda i que coincideix amb la Llei de Gauss, és a dir:
$$\iint \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{q}{\epsilon_0}$$

Per a la nova llei, es té que difereix en un factor $(1 – \sqrt{\alpha R})$, a més, el flux no és constant com en la Llei de Gauss i depèn de la superfície esfèrica que es triï.