Equilibri de Comporta amb Cadena

La comporta AB de la figura té una massa de 200 kg. Està articulada a A i les seves dimensions són: 1 m (normal al pla de la figura) i \( b = AB = 2 \, \text{m} \). La comporta està subjectada en el punt B per una cadena que passa per una politja de radi negligible a C. El punt C està sobre la vertical que passa per A. De l’altre extrem de la cadena penja una massa \( m \). Calculeu \( m \) perquè el sistema es trobi en equilibri a la posició de la figura.

\[A = 1 \cdot 2 \, \text{m}^2\]\[x_{CG} = \frac{2}{2} = 1 \, \text{m}\]\[F_R = \rho g \cos \theta x_{CG} A = \frac{1.000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \cos 45^\circ \cdot 1 \, \text{m} \cdot 2 \, \text{m}^2}{1} = 13.900 \, \text{N}\]\[I_{B,x} = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \, \text{m}^3 = \frac{8}{3} \, \text{m}^4\]\[I_{O,y} = \frac{8/3 \, \text{m}^4}{1 \cdot 2 \, \text{m}^2} = \frac{4}{3} \, \text{m}\]\[x_p = \frac{I_{O,y}}{x_{CG} \cdot A} = \frac{4/3 \, \text{m}}{1 \cdot 2 \, \text{m}^2} = \frac{2}{3} \, \text{m}\]

Equilibri de la paret:\[\sum M_A = 0: \quad T \cdot 2 \, \text{m} = F_R \cdot \left(2 – \frac{4}{3}\right) \text{m} + M g \cdot \sin 45^\circ \cdot 1 \, \text{m}\]\[13.900 \cdot 0,667 + 1.390 = \frac{5.320 \, \text{N}}{2}\]

Suma de forces:\[T = m g\]\[m = \frac{T}{g} = 542,1 \, \text{kg}\]