Anàlisi del Flux Laminar en Canonades d’Aigua

Quan el flux és turbulent es produeix més dissipació d’energia en forma de soroll i calor. a) Quin és el màxim cabal d’aigua que pot circular per una canonada d’$1$ cm de radi mantenint un flux laminar? Suposeu que la temperatura de l’aigua és $20$ ºC. b) Si tenim en compte que la viscositat de l’aigua disminueix considerablement en augmentar la temperatura, quan és més fàcil que les canonades de la conducció d’aigua facin soroll, a l’estiu o a l’hivern? Dades: A $20$ ºC, la viscositat de l’aigua és d’$1,005$ cP i la densitat, de $998,2$ kg/m³.

a) Càlcul del màxim cabal d’aigua per mantenir un flux laminar. Per determinar el màxim cabal que manté un flux laminar, hem de calcular el nombre de Reynolds (\(Re\)) i assegurar-nos que no superi el llindar per a flux laminar, que és \(Re \approx 2000\). La fórmula del nombre de Reynolds és:\[Re = \frac{\rho v D}{\mu}\]On:- \(\rho = 998,2 \, \text{kg/m}^3\) (densitat de l’aigua a 20 ºC)- \(v\) = velocitat mitjana del fluid (m/s)- \(D = 2r = 2 \cdot 0,01 \, \text{m} = 0,02 \, \text{m}\) (diàmetre de la canonada)- \(\mu = 1,005 \, \text{cP} = 1,005 \cdot 10^{-3} \, \text{Pa·s}\) (viscositat dinàmica de l’aigua a 20 ºC)- \(Re = 2000\) (límit per a flux laminar). Reorganitzem per trobar la velocitat màxima \(v\):\[v = \frac{Re \cdot \mu}{\rho \cdot D}\]Substituïm els valors:\[v = \frac{2000 \cdot 1,005 \cdot 10^{-3}}{998,2 \cdot 0,02} = \frac{2,01}{19,964} \approx 0,1007 \, \text{m/s}\]El cabal volumètric (\(Q\)) es calcula com:\[Q = v \cdot A\]On \(A\) és l’àrea de la secció transversal de la canonada:\[A = \pi r^2 = \pi \cdot (0,01)^2 = \pi \cdot 0,0001 \approx 3,1416 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2\]Llavors:\[Q = 0,1007 \cdot 3,1416 \cdot 10^{-4} \approx 3,163 \cdot 10^{-5} \, \text{m}^3/\text{s}\]Convertim a litres per segon (\(1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{L}\)):\[Q \approx 3,163 \cdot 10^{-5} \cdot 1000 = 0,03163 \, \text{L/s} \approx 31,63 \, \text{mL/s}\]

Resposta a): El màxim cabal per mantenir un flux laminar és d’aproximadament 31,63 mL/s.

b) Quan és més fàcil que les canonades facin soroll, a l’estiu o a l’hivern?El soroll en les canonades està relacionat amb el flux turbulent, que es produeix quan el nombre de Reynolds (\(Re\)) és alt. Com que:\[Re = \frac{\rho v D}{\mu}\]Un valor més baix de viscositat (\(\mu\)) augmenta \(Re\), afavorint el flux turbulent. La viscositat de l’aigua disminueix quan la temperatura augmenta. Per tant:

• *A l’estiu (temperatures més altes), la viscositat de l’aigua és més baixa, cosa que fa que \(Re\) sigui més gran per a la mateixa velocitat i diàmetre. Això facilita la transició a flux turbulent i, per tant, la producció de soroll.

• *A l’hivern (temperatures més baixes), la viscositat és més alta, reduint \(Re\) i afavorint el flux laminar, amb menys probabilitat de soroll.

Resposta b): És més fàcil que les canonades facin soroll a l’estiu, quan la viscositat de l’aigua és més baixa a causa de les temperatures més altes.