Anàlisi Energètica dels Salts d’Aigua del Niàgara

Els salts d’aigua del riu Niàgara al Canadà fan aproximadament $50$ m d’altura i $800$ m d’amplada. L’aigua es mou a una velocitat de $10$ m/s i tenen una profunditat d’$1$ m en el moment de caure. a) Quin volum d’aigua cau per cada segon? b) Quina és la pèrdua d’energia potencial d’aquest volum d’aigua en caure? c) Si aquesta energia es convertís directament en energia elèctrica, quina potència es produiria? d) La capacitat total de producció d’energia elèctrica dels Estats Units és aproximadament \( 5 \cdot 10^{11} \, \text{W} \). Quin percentatge d’aquesta energia es podria produir si s’aprofités el $80\%$ de l’energia dels salts d’aigua del Niàgara?

Dades:

• Alçada dels salts: \( h = 50 \, \text{m} \)

• Amplada del riu: \( w = 800 \, \text{m} \)

• Profunditat de l’aigua: \( d = 1 \, \text{m} \)

• Velocitat de l’aigua: \( v = 10 \, \text{m/s} \)

• Densitat de l’aigua: \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) (valor estàndard)

• Acceleració de la gravetat: \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \)

• Capacitat elèctrica total dels EUA: \( P_{\text{total}} = 5 \cdot 10^{11} \, \text{W} \)

• Eficiència d’aprofitament: \( 80\% = 0,8 \)

a) Volum d’aigua que cau per segon. El cabal volumètric (\( Q \)) es calcula com el producte de l’àrea de la secció transversal del flux per la velocitat de l’aigua:L’àrea de la secció transversal és:\[A = w \cdot d = 800 \cdot 1 = 800 \, \text{m}^2\]El cabal volumètric és:\[Q = A \cdot v = 800 \cdot 10 = 8000 \, \text{m}^3/\text{s}\]

Resposta a): El volum d’aigua que cau per segon és 8000 m³/s

b) Pèrdua d’energia potencial del volum d’aigua. L’energia potencial gravitatòria perduda per unitat de temps (potència potencial) es calcula com:\[P = \dot{m} g h\]On \(\dot{m}\) és el flux de massa, calculat com:\[\dot{m} = \rho \cdot Q = 1000 \cdot 8000 = 8 \cdot 10^6 \, \text{kg/s}\]Llavors, l’energia potencial perduda per segon és:\[P = \dot{m} g h = (8 \cdot 10^6) \cdot 9,8 \cdot 50\]\[P = 8 \cdot 10^6 \cdot 490 = 3,92 \cdot 10^9 \, \text{J/s} = 3,92 \cdot 10^9 \, \text{W}\]

Resposta b): La pèrdua d’energia potencial és d’aproximadament 3,92 × 10⁹ W (o 3,92 GW).

c) Potència elèctrica produïda. Si tota l’energia potencial es convertís directament en energia elèctrica (100% d’eficiència), la potència elèctrica seria igual a la pèrdua d’energia potencial:\[P_{\text{elèctrica}} = 3,92 \cdot 10^9 \, \text{W}\]

Resposta c): La potència produïda seria 3,92 × 10⁹ W (o **3,92 GW).

d) Percentatge respecte a la capacitat total dels EUA amb un 80% d’eficiència. Si s’aprofita el 80% de l’energia potencial, la potència elèctrica efectiva és:\[P_{\text{efectiva}} = 0,8 \cdot 3,92 \cdot 10^9 = 3,136 \cdot 10^9 \, \text{W}\]La capacitat total dels EUA és:\[P_{\text{total}} = 5 \cdot 10^{11} \, \text{W}\]El percentatge es calcula com:\[\text{Percentatge} = \left( \frac{P_{\text{efectiva}}}{P_{\text{total}}} \right) \cdot 100\]\[\text{Percentatge} = \left( \frac{3,136 \cdot 10^9}{5 \cdot 10^{11}} \right) \cdot 100 = \frac{3,136}{500} \cdot 100 \approx 0,6272 \, \%\]

Resposta d): El percentatge de la capacitat elèctrica dels EUA que es podria produir amb un 80% d’aprofitament és d’aproximadament 0,63%.

Resum final:

• a) Volum d’aigua: 8000 m³/s.

• b) Pèrdua d’energia potencial: 3,92 × 10⁹ W.

• c) Potència elèctrica: 3,92 × 10⁹ W.

• d) Percentatge respecte a la capacitat dels EUA: 0,63%.