Energia en un projectil

Es llança un projectil de massa $m = 0,5 \, \text{kg}$ des del terra amb una velocitat inicial $v_0 = 20 \, \text{m/s}$ i un angle $\theta = 45^\circ$. Sense resistència de l’aire, calculeu: (a) L’energia cinètica inicial. (b) L’altura màxima i l’energia potencial en aquest punt. (c) La velocitat quan torna a terra.

Les dades són: $m = 0,5 \, \text{kg}$, $v_0 = 20 \, \text{m/s}$, $\theta = 45^\circ$, $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$.

(a) Energia cinètica inicial:
$$E_c = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot 20^2 = 0,25 \cdot 400 = 100 \, \text{J}.$$

(b) Components de la velocitat:
$$v_{0y} = v_0 \sin \theta = 20 \cdot \sin 45^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 14,14 \, \text{m/s}.$$
Temps fins a l’altura màxima ($v_y = 0$):
$$v_y = v_{0y} – g t = 0 \implies t = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{14,14}{9,8} \approx 1,44 \, \text{s}.$$
Altura màxima:
$$h_{\text{màx}} = v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2 = 14,14 \cdot 1,44 – \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot 1,44^2 \approx 20,36 – 10,18 \approx 10,18 \, \text{m}.$$
Energia potencial a l’altura màxima:
$$E_{pg} = m g h_{\text{màx}} = 0,5 \cdot 9,8 \cdot 10,18 \approx 49,88 \, \text{J}.$$

(c) Quan torna a terra, l’energia mecànica es conserva, per tant:
$$E_c = E_{c,\text{inicial}} = 100 \, \text{J} \implies \frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot v^2 = 100 \implies v^2 = 400 \implies v = 20 \, \text{m/s}.$$

$\textbf{Resposta:}$
(a) $E_c = 100 \, \text{J}$.
(b) $h_{\text{màx}} \approx 10,18 \, \text{m} ), ( E_{pg} \approx 49,88 \, \text{J}$.
(c) $v = 20 \, \text{m/s}$.