Efecte fotoelèctric en una cèl·lula

El càtode d’una cèl·lula fotoelèctrica està il·luminat amb una radiació electromagnètica de longitud d’ona $\lambda$. L’energia d’extracció per a un electró del càtode és de $2,2$ eV, essent necessari establir entre el càtode i l’ànode una tensió de $0,4$ V per anul·lar el corrent fotoelèctric. Calcular: a) La velocitat màxima dels electrons emesos. b) Els valors de la longitud d’ona de la radiació emprada $\lambda$ i la longitud d’ona umbral $\lambda_0$.

$\textbf{Dades:}$

• Massa de l’electró: $m_e = 9,109 \times 10^{-31} \, \text{kg}$.
  
• Valor absolut de la càrrega de l’electró: $e = 1,6 \times 10^{-19} \, \text{C}$.
  
• Velocitat de la llum en el buit: $c = 3 \times 10^8 \, \text{m·s}^{-1}$.
  
• Constant de Planck: $h = 6,626 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$.
  

La freqüència umbral ($\nu_0$) correspon a un fotó la energia del qual és justament el treball d’extracció ($\Phi$) per convecció:
$$\Phi = h \nu_0 = h \frac{c}{\lambda_0},$$
$$\lambda_0 = \frac{h c}{\Phi} = \frac{6,626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2,2 \times 1,6 \times 10^{-19}} \approx 5,65 \times 10^{-7} \, \text{m}.$$

L’energia cinètica màxima de les fotoelectrons es calcula amb l’energia potencial elèctrica deguda al potencial de detenció per la qual:
$$E_{c\max} = \frac{1}{2} m_e v_{\max}^2 = e \Delta V,$$
aïllant $v_{\max}$:
$$v_{\max} = \sqrt{\frac{2 e \Delta V}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \times 1,6 \times 10^{-19} \times 0,4}{9,109 \times 10^{-31}}} \approx 3,35 \times 10^5 \, \text{m·s}^{-1}.$$

La equació d’Einstein de l’efecte fotoelèctric és:
$$h \nu = \frac{h c}{\lambda} = \Phi + E_{c\max} = \frac{h c}{\lambda_0} + e \Delta V,$$
des d’on:
$$\lambda = \frac{h c}{\Phi + e \Delta V} = \frac{6,626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{(2,2 \times 1,6 \times 10^{-19}) + (1,6 \times 10^{-19} \times 0,4)} \approx 4,78 \times 10^{-7} \, \text{m}.$$

$\textbf{Respostes:}$
a) La velocitat màxima dels electrons emesos és $v_{\max} \approx 3,35 \times 10^5 \, \text{m·s}^{-1}$.
b) La longitud d’ona de la radiació emprada és $\lambda \approx 4,78 \times 10^{-7} \, \text{m}$ i la longitud d’ona umbral és $\lambda_0 \approx 5,65 \times 10^{-7} \, \text{m}$.