Anàlisi d’una ona en una corda

Una ona en una corda ve donada per l’equació: $$y(x, t) = 0,2 \sin(\pi x) \cos(100\pi t) \, \text{m}$$, on \( x \) està comprès entre 0 i 6 metres. Calcular: a) La longitud d’ona i la freqüència angular de l’ona. b) El nombre total de nodes (inclosos els extrems). c) La velocitat de propagació de les ones en la corda.

a) La forma general de l’equació que descriu una ona estacionària és:

\[y = 2A \cos(\omega t) \sin(k x)\]

D’aquí es pot deduir que:

\[\omega = 100\pi \, \text{s}^{-1} \quad \text{i} \quad \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \, \text{m}\]

b) Com que la corda està subjecta pels dos extrems, tindrem que:

    \[    \lambda = \frac{2L}{n – 1}    \]

    on \( n \) és el nombre de nodes. Per tant:

    \[    2 = \frac{6 \cdot 2}{n – 1} \Rightarrow n = \frac{12}{2} + 1 = 7    \]

c) Com que \( k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{v T} = \frac{\omega}{v} \), tindrem que:

    \[    v = \frac{\omega}{k} = \frac{100\pi}{\pi} = 100 \, \text{m·s}^{-1}    \]