Determinació del Pes de l’Or en una Peça d’Aleació d’Alumini i Or

Una peça d’aliatge d’alumini i or pesa 5 kg. Si se suspèn d’una balança de molla i se submergeix en aigua, la balança indica 4 kg. Quin és el pes de l’or en l’aliatge si les densitats relatives de l’or i de l’alumini són 19,3 i 2,5, respectivament?

Quan submergim la peça en aigua, la força a la qual està sotmesa és:\[F = m g – E\]D’on:\[E = m g – F\]Substituint les dades:\[E = 5 \cdot 9,8 – 4 \cdot 9,8 = 9,8 \, \text{N}\]Aquesta força d’empenta correspon al pes del volum d’aigua desplaçada:\[E = \rho g V\]Aïllem el volum \( V \):\[V = \frac{E}{\rho g} = \frac{9,8}{1000 \cdot 9,8} = 0,001 \, \text{m}^3\]Per tant, la peça desplaça un volum de \( 10^{-3} \, \text{m}^3 \).Sabem que el volum total \( V \) és la suma del volum de l’or (\( V_{\text{Au}} \)) i de l’alumini (\( V_{\text{Al}} \)):\[V = V_{\text{Au}} + V_{\text{Al}}\]I que la massa total és la suma de la massa de l’or (\( m_{\text{Au}} \)) i de l’alumini (\( m_{\text{Al}} \)):\[m = m_{\text{Au}} + m_{\text{Al}}\]

A partir de la definició de densitat:\[\rho_c = \frac{m}{V}\]Tenim:\[m_{\text{Al}} = \rho_{\text{Al}} V_{\text{Al}}, \quad m_{\text{Au}} = \rho_{\text{Au}} V_{\text{Au}}\]Això ens porta a les següents equacions:\[5000 = m_{\text{Al}} + m_{\text{Au}} \quad (1)\]\[1000 = \frac{m_{\text{Al}}}{2,5} + \frac{m_{\text{Au}}}{19,3} \quad (2)\]La segona equació ve del fet que el volum total \( V = 0,001 \, \text{m}^3 \) (calculat anteriorment) es pot expressar com:\[V = V_{\text{Al}} + V_{\text{Au}} = \frac{m_{\text{Al}}}{\rho_{\text{Al}}} + \frac{m_{\text{Au}}}{\rho_{\text{Au}}}\]Substituint les densitats (\( \rho_{\text{Al}} = 2500 \, \text{kg/m}^3 \), \( \rho_{\text{Au}} = 19300 \, \text{kg/m}^3 \)) i \( V = 0,001 \, \text{m}^3 \):\[0,001 = \frac{m_{\text{Al}}}{2500} + \frac{m_{\text{Au}}}{19300}\]Multipliquem per 1000 per simplificar:\[1000 = \frac{m_{\text{Al}}}{2,5} + \frac{m_{\text{Au}}}{19,3}\]Ara resolem el sistema d’equacions (1) i (2). De l’equació (1):\[m_{\text{Al}} = 5000 – m_{\text{Au}}\] Substituínt a l’equació (2):\[1000 = \frac{5000 – m_{\text{Au}}}{2,5} + \frac{m_{\text{Au}}}{19,3}\]Multipliquem per 2,5 i 19,3 per eliminar els denominadors (mínim comú múltiple de 2,5 i 19,3):\[1000 \cdot 2,5 \cdot 19,3 = (5000 – m_{\text{Au}}) \cdot 19,3 + m_{\text{Au}} \cdot 2,5\]\[48250 = 96500 – 19,3 m_{\text{Au}} + 2,5 m_{\text{Au}}\]\[48250 = 96500 – 16,8 m_{\text{Au}}\]\[16,8 m_{\text{Au}} = 96500 – 48250\]\[16,8 m_{\text{Au}} = 48250\]\[m_{\text{Au}} = \frac{48250}{16,8} \approx 2872 \, \text{g} = 2,872 \, \text{kg}\]Ara calculem \( m_{\text{Al}} \):\[m_{\text{Al}} = 5000 – m_{\text{Au}} = 5000 – 2872 = 2128 \, \text{g} = 2,128 \, \text{kg}\]

Resum del resultat. Les masses són:\[m_{\text{Au}} = 2872 \, \text{g} = 2,872 \, \text{kg}\]\[m_{\text{Al}} = 2128 \, \text{g} = 2,128 \, \text{kg}\]Aquestes masses coincideixen amb el càlcul anterior del pes de l’or (2,872 kg), confirmant la consistència de la solució.