Centre de masses triangle rectangle

Un triangle rectangle és construït per tres barres homogènies de la mateixa densitat de longituds $12$ m, $15$ m i $9$ m (fig. 7.25). Determineu el centre de masses segons el sistema de coordenades indicat en la figura.

🧱 1. Informació inicial:

Tens un triangle rectangle format per tres barres homogènies (mateixa densitat), amb les següents longituds:

• Barra horitzontal: 12 m
• Barra vertical: 9 m
• Barra inclinada (hipotenusa): 15 m

Com que són homogènies, la massa de cada barra és proporcional a la seva longitud.
Així que, en comptes de masses, farem servir les longituds com a pes en el càlcul del centre de masses.

🧭 2. Sistema de coordenades:

Segons la figura:

• L’origen (0,0) està a l’extrem inferior esquerre del triangle.
• La barra horitzontal està alineada amb l’eix x, de 12 m de llarg.
• La barra vertical està alineada amb l’eix y, de 9 m de llarg.
• La hipotenusa uneix els extrems de les dues anteriors.

📍 3. Posició del centre de masses de cada barra:

Per barres rectes i homogènies, el centre de masses es troba al seu punt mig.

1. Barra horitzontal (12 m):
   • Posició inicial: (0, 0)
   • Va de (0, 0) a (12, 0)
   • Centre de masses: Punt mig $=\left(\frac{0 + 12}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (6,\ 0)$
2. Barra vertical (9 m):
   • Va de (0, 0) a (0, 9)
   • Centre de masses: $\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 9}{2}\right) = (0,\ 4{,}5)$
3. Barra inclinada (15 m):
   • Va de (0, 9) a (12, 0)
   • Centre de masses: $\left(\frac{0 + 12}{2}, \frac{9 + 0}{2}\right) = (6,\ 4{,}5)$

🧮 4. Càlcul del centre de masses total:

Utilitzem la fórmula del centre de masses ponderat: $$\vec{r}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$$

Com que $m_i = \text{longitud}_i$, tenim:

• Barra vertical: 9 m → posició (0, 4.5)
• Barra horitzontal: 12 m → posició (6, 0)
• Barra inclinada: 15 m → posició (6, 4.5)

Fem la suma ponderada: $$\vec{r}_{cm} = \frac{9 \cdot (0,\ 4{,}5) + 12 \cdot (6,\ 0) + 15 \cdot (6,\ 4{,}5)}{9 + 12 + 15}$$ $$= \frac{(0,\ 40{,}5) + (72,\ 0) + (90,\ 67{,}5)}{36} = \frac{(162,\ 108)}{36} = (4{,}5,\ 3)$$

✅ Resultat final:

El centre de masses del sistema és: $$\vec{r}_{cm} = (4{,}5,\ 3)\ \text{cm} = 4{,}5 \vec{\imath} + 3 \vec{\jmath}$$