Transformació lineal i càlcul de la imatge d’un vector

Siguin \( B_3 \) una base ordenada de \( \mathbb{R}^3 \), i definim una aplicació lineal \( f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) de la manera següent:\[f_1 = \mathbf{i} + \mathbf{j}, \quad f_2 = \mathbf{i} – \mathbf{j}, \quad f_3 = -\mathbf{i} + 2\mathbf{j} – \mathbf{k}\]on \( f_1, f_2, f_3 \) són les imatges dels vectors de la base \( B_3 \). Aquesta aplicació \( f \) està definida per \( f(\mathbf{e}) = (i, j, k) \cdot \mathbf{u} \), on \( \mathbf{e} = (i, j, k) \in \mathbb{R}^3 \) és un vector qualsevol de \( \mathbb{R}^3 \). Calculeu: a) La matriu associada a l’aplicació \( f \) respecte de la base \( B_3 \). b) La imatge per \( f \) del vector \( \mathbf{x} = \mathbf{i} – 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \).

a) Matriu associada a l’aplicació \( f \) Donat que \( f_1, f_2, f_3 \) són les imatges dels vectors de la base \( B_3 \), podem escriure les seves components respecte a la base canònica:\[f_1 = (1, 1, 0), \quad f_2 = (1, -1, 0), \quad f_3 = (-1, 2, -1)\]La matriu associada \( A \) a l’aplicació \( f \) respecte a la base \( B_3 \) té com a columnes les components d’aquestes imatges:\[A = \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\1 & -1 & 2 \\0 & 0 & -1\end{pmatrix}\]Comprovem si el determinant de \( A \) és diferent de zero per assegurar-nos que \( f \) és invertible (és a dir, que sigui un isomorfisme). Calculem \( \det(A) \):\[\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} – 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}\]\[= 1 \cdot ((-1) \cdot (-1) – 2 \cdot 0) – 1 \cdot (1 \cdot (-1) – 2 \cdot 0) + (-1) \cdot (1 \cdot (-1) – (-1) \cdot 1)\]\[= 1 \cdot (1 – 0) – 1 \cdot (-1 – 0) + (-1) \cdot (-1 + 1)\]\[= 1 + 1 + 0 = 2\]Com que \( \det(A) \neq 0 \), la matriu \( A \) és invertible, i per tant \( f \) és un isomorfisme.**b) Imatge del vector \( \mathbf{x} = \mathbf{i} – 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \)**Primer expressem el vector \( \mathbf{x} \) en la base canònica:\[\mathbf{x} = (1, -2, 2)\]La imatge de \( \mathbf{x} \) per \( f \) es calcula com \( \mathbf{x}_f = A \cdot \mathbf{x} \):\[\mathbf{x}_f = \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\1 & -1 & 2 \\0 & 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\-2 \\2\end{pmatrix}\]\[= \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 \\1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) + 2 \cdot 2 \\0 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2\end{pmatrix}\]\[= \begin{pmatrix}1 – 2 – 2 \\1 + 2 + 4 \\0 + 0 – 2\end{pmatrix}\]\[= \begin{pmatrix}-3 \\7 \\-2\end{pmatrix}\]Per tant, la imatge de \( \mathbf{x} \) és:\[\mathbf{x}_f = (-3, 7, -2)\]Expressem aquest vector en termes de la base canònica:\[\mathbf{x}_f = -3\mathbf{i} + 7\mathbf{j} – 2\mathbf{k}\]

Resum dels resultats

a) La matriu associada a \( f \) respecte a la base \( B_3 \) és:\[A = \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\1 & -1 & 2 \\0 & 0 & -1\end{pmatrix}\]

b) La imatge del vector \( \mathbf{x} = \mathbf{i} – 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \) per l’aplicació \( f \) és:\[f(\mathbf{x}) = -3\mathbf{i} + 7\mathbf{j} – 2\mathbf{k}\]