Determinació del diàmetre menor d’un venturímetre mitjançant la lectura d’un manòmetre de mercuri

Pel venturímetre de la figura hi circula un cabal de $50$ m$^3$/h d’aigua des del punt A cap a B. Es demana determinar el diàmetre menor $d$ del coll del venturímetre, despreciant les pèrdues de càrrega entre A i B. Densitat relativa: Aire despreciable, Mercuri $13,59$.

Les dades conegudes són:

• Diàmetre a l’entrada $D_A = 10\ \text{cm}$
• Diferència d’altures: $z_B – z_A = 2\ \text{m}$
• Diferència de columnes de mercuri al manòmetre: $h = 1\ \text{m}$
• Densitat relativa del mercuri: $13{,}59$
• L’aire és despreciable

Es demana:
Determinar el valor de $d$ en centímetres.

Dades

• Cabal: $Q=50\ \mathrm{m^3/h}=50/3600=0{,}0138889\ \mathrm{m^3/s}$.
• Diàmetre a l’entrada: $D_A=10\ \mathrm{cm}=0{,}10\ \mathrm{m}$.
• Densitat aigua: $\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$.
• Densitat mercuri: $\rho_{Hg}=13{,}59\cdot1000=13590\ \mathrm{kg/m^3}$.
• Separació vertical entre B i A: $z_B-z_A=2{,}0\ \mathrm{m}$.
• Diferència de columnes de mercuri (del manòmetre a la dreta): $h=1{,}0\ \mathrm{m}$ (vegeu figura).
• $g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$.

1) Velocitat a l’entrada $v_A$
$$A_A=\frac{\pi D_A^2}{4}=\frac{\pi(0{,}10)^2}{4}=7{,}85398\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^2}$$
$$v_A=\frac{Q}{A_A}=\frac{0{,}0138889}{7{,}85398\cdot10^{-3}}=1{,}7684\ \mathrm{m/s}.$$

2) Relació de continuïtat i velocitat a la gola $v_B$
Si la gola té diàmetre $d$,
$$v_B=v_A\left(\frac{D_A}{d}\right)^2.$$

3) Bernoulli entre A i B (sense pèrdues) incloent diferencia d’altura
$$p_A+\tfrac12\rho v_A^2+\rho g z_A = p_B+\tfrac12\rho v_B^2+\rho g z_B$$
$$\Rightarrow p_A-p_B=\rho g(z_B-z_A)+\tfrac12\rho(v_B^2-v_A^2).$$

4) Relació donada pel manòmetre (connexió A–B amb mercuri)
La diferència de pressió entre B i A ve donada per la columna de mercuri:
$$p_B-p_A=\rho_{Hg},g,h \quad\Rightarrow\quad p_A-p_B=-\rho_{Hg} g h.$$
Substituint en Bernoulli (canviant signe):
$$-\rho_{Hg} g h = \rho g(z_B-z_A)+\tfrac12\rho(v_B^2-v_A^2).$$
Per comoditat podem portar tot a una equació per $d$.

5) Substituïm valors numèrics
Reordenant i substituint $z_B-z_A=2\ \mathrm{m}$ i $h=1\ \mathrm{m}$:
$$\rho_{Hg} g(1) = -\rho g(2) – \tfrac12\rho\big(v_B^2-v_A^2\big).$$
(He anat a la forma $\rho_{Hg}g = \rho g(-2) -\tfrac12\rho(v_B^2-v_A^2)$ i es resol numèricament per $d$ fent servir $v_B=v_A(D_A/d)^2).$

Resolent numèricament aquesta equació s’obté
$$d \approx 0{,}03413\ \mathrm{m}=3{,}413\ \mathrm{cm}.$$

Resultat:
$$\boxed{d\approx 3{,}41\ \mathrm{cm}}$$