Càlcul del cabal en un venturi per mantenir l’equilibri de pressions amb un dipòsit connectat

Pel venturi de la figura hi circula un líquid de pes específic $1350$ kp/m$^3$. Si la pressió al punt A és de $0,65$ kp/cm$^2$ i despreciem la pèrdua de càrrega entre A i B, determineu: i) Quin cabal ha de circular per la canonada A-B-C per a què el líquid contingut al tub B-D es mantingui en repòs? ii) Què succeeix quan el cabal és superior al trobat? I quan és inferior?

Dades

• pes específic $\gamma$ = 1350 kp/m³
• $p_A = 0{,}65\ \text{kp/cm}^2$ (pressió en A, presuma que és pressió manomètrica)
• distància vertical (h) entre B i superfície lliure del dipòsit D = 1500 mm = 1,5 m
• diàmetre a A i C: $D_A=25\ \text{mm}=0{,}025\ \text{m}$
• diàmetre a la gola (B): $D_B=15\ \text{mm}=0{,}015\ \text{m}$
• s’ignoren pèrdues entre A i B i s’aplica Bernoulli entre A i B.

Condició d’equilibri del tub B–D
Perquè la columna de líquid del tub B–D estigui en repòs, la pressió en B (manomètrica) ha de ser la que resulta de la columna estàtica connectada a la superfície lliure del dipòsit. Així:
$$p_B^{(gauge)} = p_{atm}^{(gauge)} – \gamma h = -\gamma h.$$
Numèricament:
$$\gamma h = 1350\ \text{kp/m}^3 \times 1{,}5\ \text{m} = 2025\ \text{kp/m}^2 = 0{,}2025\ \text{kp/cm}^2,$$
doncs $p_B^{(gauge)}=-0{,}2025\ \text{kp/cm}^2$.

Bernoulli entre A i B (sense pèrdues):
$$\frac{p_A-p_B}{\gamma}=\frac{v_B^2-v_A^2}{2g}.$$
Relació de velocitats per continuïtat:
$$v_B = v_A\frac{A_A}{A_B}=v_A\left(\frac{D_A}{D_B}\right)^2
= v_A\left(\frac{25}{15}\right)^2 = v_A\cdot 2{,}77778.$$

Substituïnt i resolent per $v_A$ (convertint $p$ a kp/m²):
$$p_A=0{,}65\ \text{kp/cm}^2=6500\ \text{kp/m}^2,\quad p_B=-0{,}2025\ \text{kp/cm}^2=-2025\ \text{kp/m}^2$$
$$\frac{p_A-p_B}{\gamma}=\frac{6500-(-2025)}{1350}= \frac{8525}{1350}\ \text{m}$$
i fent els càlculs (amb $g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$) s’obté
$$v_A \approx 4{,}295\ \mathrm{m/s}.$$

Q:
$$A_A=\frac{\pi D_A^2}{4}=\frac{\pi(0{,}025)^2}{4}\ \mathrm{m^2},
\quad Q=v_A A_A \approx 0{,}00210835\ \mathrm{m^3/s}.$$
En litres per hora:
$$Q\approx 0{,}00210835\cdot1000\cdot3600 \approx 7590{,}06\ \text{L/h}.$$

Resposta (i): $Q\approx 7{,}590\ \text{L/h}$.

(ii) Què passa si el cabal és superior o inferior a aquest?

• Si $Q > Q_{calc}$: la velocitat a la gola $v_B$ augmenta i, per Bernoulli, la pressió en B disminueix per sota del valor d’equilibri ($- \gamma h$). Això crea una depressió per sota de la que necessita la columna estàtica, per tant el líquid del dipòsit serà aspirat cap a la canonada (és a dir, el líquid pujarà pel tub B–D i sortirà cap al flux principal).
• Si $Q < Q_{calc}$: $v_B$ és menor i la pressió en B serà més alta que la necessària per sostenir la columna estàtica; en aquest cas el líquid del circuit principal s’enfonsarà pel tub B–D cap al dipòsit (flux des del tub cap al dipòsit) fins que s’assoleixi un nou equilibri.