Anàlisi Hidràulica del Sistema Venturi i Bomba

En el sistema de la figura, la bomba BC ha de impulsar un cabal de $250$ l/s d’oli $D_r=0,842$ cap al recipient $D$. Si es suposa que la pèrdua de càrrega entre A i B és de $2,5$ m i entre C i D és de $6.5$ m, determineu: i) Quina potència (en W i en CV) ha de subministrar la bomba a la corrent. ii) Dibuixeu la línia d’altures totals. Desprecieu la velocitat del fluid als recipients A i D

Dades

• $Q=250\ \mathrm{L/s}=0{,}250\ \mathrm{m^3/s}$
• densitat de l’oli: $\rho = 0{,}842\cdot1000=842\ \mathrm{kg/m^3}$
• $g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$
• pèrdues: $h_{AB}=2{,}5\ \mathrm{m}$, $h_{CD}=6{,}5\ \mathrm{m}$
• diferència d’altura entre superfícies lliures: $z_D-z_A=45{,}0\ \mathrm{m}$ (segons la lectura de la figura)
• despreciem la velocitat als recipients A i D.

(i) Potència que ha de subministrar la bomba

La capçalera (head) que la bomba ha d’aportar, en metres de fluid, és la suma de la diferència d’altura més les pèrdues:
$$H = (z_D-z_A) + h_{AB} + h_{CD} = 45{,}0 + 2{,}5 + 6{,}5 = 54{,}0\ \mathrm{m}.$$

La potència hidràulica (energia per unitat de temps) subministrada a la corrent és
$$P = \rho, g, Q, H.$$
Substituint:
$$P = 842\cdot 9{,}81\cdot 0{,}25\cdot 54 = 111,510{,}3\ \mathrm{W}\approx 111{,}51\ \mathrm{kW}.$$

En cavalls de vapor (1 CV = 735,5 W):
$$P_{\text{CV}}=\frac{111,510{,}3}{735{,}5}\approx 151{,}6\ \mathrm{CV}.$$

Resposta (i):
$$\boxed{P \approx 1{,}115\times10^5\ \mathrm{W} ;=;111{,}5\ \mathrm{kW};\approx;151{,}6\ \mathrm{CV}.}$$

(Nota: això és la potència hidràulica; la potència elèctrica del motor serà (P/\eta) si es coneix l’eficiència $\eta$.)

(ii) Línia d’altures totals (energia específica)

Prenem com a referència $z_A=0$. Llavors $z_D=45\ \mathrm{m}$.

• A (superfície): $\text{head}_A = z_A = 0\ \mathrm{m}$.
• Just després de les pèrdues A→B: $\text{head}B = z_A – h{AB} = 0 – 2{,}5 = -2{,}5\ \mathrm{m}.$
• La bomba aporta $H = 54\ \mathrm{m}$. Per tant, just després de la bomba (punt C) la línia d’altures val
  $\text{head}{C} = \text{head}{B} + H = -2{,}5 + 54 = 51{,}5\ \mathrm{m}.$
• Entre C i D s’exhibeixen pèrdues de 6,5 m, així que a la superfície de D la línia d’altures queda
  $\text{head}_{D} = 51{,}5 – 6{,}5 = 45{,}0\ \mathrm{m},$ que coincideix amb $z_D$.

Esquema resum (caps de valors en metres)

head (m)
  51.5  ─── ← just després bomba (C)
        |\
        | \  pèrdues C→D = 6.5 m
  45.0  ───  ← superfície D  (z_D)
        :
        :  (canonada)
  -2.5  ───  ← punt B (després pèrdues A→B)
        :
   0.0  ───  ← superfície A  (z_A)

Explicació en paraules: la línia d’altures baixa de $0$ a $-2{,}5$ m entre A i B per les pèrdues; la bomba eleva la línia en $54$ m fins a $51,5$ m; després, per les pèrdues C–D baixa a $45$ m, que és exactament l’altura de la superfície D.