Determinació de l’alineació de punts en l’espai

Donats els punts $A(1, 3, -1)$, $B(4, 0, 2)$ i $C(-2, -1, 5)$ de $\mathbb{R}^3$, determineu si estan $\textbf{alineats}$ (és a dir, col·lineals).

Per determinar si els tres punts són col·lineals, cal comprovar si els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ són $\textbf{proporcionals}$, o equivalentment, si el seu $\textbf{producte vectorial}$ és el vector nul.

Pas 1: Càlcul dels vectors

$$\overrightarrow{AB} = B – A = (4-1,\ 0-3,\ 2-(-1)) = (3,\ -3,\ 3)$$

$$\overrightarrow{AC} = C – A = (-2-1,\ -1-3,\ 5-(-1)) = (-3,\ -4,\ 6)$$

Mètode 1: Proporcionalitat (escalar $k$)

Suposem que existeix $k \in \mathbb{R}$ tal que:

$$\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC} \quad \Rightarrow \quad
(3,\ -3,\ 3) = k (-3,\ -4,\ 6)$$

Això dona el sistema:

$$\begin{cases}
3 = -3k \quad \Rightarrow \quad k = -1 \\
-3 = -4k \quad \Rightarrow \quad k = \dfrac{3}{4} \\
3 = 6k \quad \Rightarrow \quad k = \dfrac{1}{2}
\end{cases}$$

Com que els valors de $k$ són $\textbf{diferents}$, els vectors $\textbf{no són proporcionals}$.

Mètode 2: Producte vectorial

Calculem $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$:

$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
3 & -3 & 3 \\
-3 & -4 & 6
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} \bigl[ (-3)(6) – (3)(-4) \bigr]\mathbf{j} \bigl[ (3)(6) – (3)(-3) \bigr]\mathbf{k} \bigl[ (3)(-4) – (-3)(-3) \bigr]$$

$$= \mathbf{i} (-18 + 12) – \mathbf{j} (18 + 9) + \mathbf{k} (-12 – 9)
= -6\mathbf{i} – 27\mathbf{j} – 21\mathbf{k}$$

$$\boxed{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-6,\ -27,\ -21) \neq (0,0,0)}$$

Com que el producte vectorial $\textbf{no és nul}$, els vectors no són paral·lels.

Conclusió

Els punts $A$, $B$ i $C$ $\textbf{no estan alineats}$.

$$\boxed{\text{Els punts } A(1,3,-1),\ B(4,0,2)\ \text{i}\ C(-2,-1,5)\ \text{no estan alineats.}}$$