Alineació de punts en l’espai: càlcul de paràmetres

Donats els punts $A(-2,\ 1,\ 3)$, $B(-1,\ -1,\ 2)$, $C(2-a,\ 3,\ b-1)$, calculeu els valors de $a$ i $b$ per tal que els tres punts estiguin $\textbf{alineats}$ (col·lineals).

Perquè $A$, $B$ i $C$ siguin col·lineals, els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ han de ser $\textbf{proporcionals}$, és a dir, ha d’existir un escalar $k \in \mathbb{R}$ tal que:

$$\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}$$

Pas 1: Càlcul dels vectors

$$\overrightarrow{AB} = B – A = (-1 – (-2),\ -1 – 1,\ 2 – 3) = (1,\ -2,\ -1)$$

$$\overrightarrow{AC} = C – A = (2-a – (-2),\ 3 – 1,\ (b-1) – 3) = (4-a,\ 2,\ b-4)$$

Pas 2: Condició de proporcionalitat

$$(1,\ -2,\ -1) = k \cdot (4-a,\ 2,\ b-4)$$

Això dona el sistema:

$$\begin{cases}
1 = k(4 – a) \quad (1) \\
-2 = k \cdot 2 \quad (2) \\
-1 = k(b – 4) \quad (3)
\end{cases}$$

Pas 3: Resolució del sistema

De l’equació (2):

$$k = \dfrac{-2}{2} = \boxed{-1}$$

Substituïm $k = -1$ a (1):

$$1 = (-1)(4 – a) \quad \Rightarrow \quad 1 = -4 + a \quad \Rightarrow \quad a = 5$$

$$\boxed{a = 5}$$

Substituïm $k = -1$ a (3):

$$-1 = (-1)(b – 4) \quad \Rightarrow \quad -1 = -b + 4 \quad \Rightarrow \quad b = 5$$

$$\boxed{b = 5}$$