Deformació de la molla

En una cadena d’embalatge uns paquets de massa $m = 40 \, \text{kg}$ són llançats a una velocitat inicial de $v = 4 \, \text{m/s}$ sobre una superfície de longitud $l = 1,5 \, \text{m}$, amb un coeficient de fricció $\mu = 0,1$, fins que són aturats per una molla amb $k = 20 \, \text{kN/m}$. Determina la deformació $x$ de la molla causada per l’impacte d’un paquet.

El treball fet per la força de fricció (no conservativa) més el de la deformació de la molla (conservativa) ha de ser igual que la variació d’energia cinètica:\[W = \Delta E_c\] Tant el treball fet per la força de fricció com el fet per la molla són negatius, ja que actuen en contra del moviment:

\[F_f = N \cdot \mu = m \cdot g \cdot \mu = 40 \cdot 9,807 \cdot 0,1 = 39,23 \, \text{N}\]\[W_f = -F_f \cdot (l + x) = -39,23 \cdot (1,5 + x) = -(58,84 + 39,23 x)\]\[W_m = -\frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 = -10000 x^2\]\[\Delta E_c = \frac{1}{2} m (v_2^2 – v_1^2) = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (0 – 4^2) = -320 \, \text{J}\]Com que $W = \Delta E_c$,\[-(58,84 + 39,23 \cdot x) – 10000 \cdot x^2 = -320\]\[10000 \cdot x^2 + 39,23 x – 261,14 = 0\]d’on $x = 0,159 \, \text{m}$