Diagonalitzabilitat amb matrius reals de la matriu

Estudieu la diagonalitzabilitat amb matrius reals de la matriu \[A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 0 \\-2 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}\]

L’equació característica és:\[\begin{vmatrix}1-\lambda & 2 & 0 & 0 \\-2 & 1-\lambda & 0 & 0 \\0 & 0 & -\lambda & -1 \\0 & 0 & 0 & -1-\lambda\end{vmatrix} = 0 \iff -\lambda \begin{vmatrix}1-\lambda & 2 & 0 \\-2 & 1-\lambda & 0 \\0 & 0 & -1-\lambda\end{vmatrix} = 0\]\[\iff -\lambda(-1-\lambda) \begin{vmatrix}1-\lambda & 2 \\-2 & 1-\lambda\end{vmatrix} = 0\]\[\iff -\lambda(-1-\lambda) \left( (1-\lambda)^2 + 4 \right) = 0\]Així doncs, els valors propis són \(\lambda_1 = 0\), \(\lambda_2 = -1\), \(\lambda_3 = 1 + 2i\), \(\lambda_4 = 1 – 2i\). Tots els valors propis tenen multiplicitat algebraica 1.Aquesta matriu no és diagonalitzable (amb matrius reals) perquè no tots els valors propis són reals.