Determinació de la diagonalitzabilitat d’una matriu amb paràmetre

Determineu per a quins valors del paràmetre \(a\) és diagonalitzable la matriu\[A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & a & 0 \\a & 0 & a\end{bmatrix}\]Diagonalitzeu-la en el cas \(a = 0\).

L’equació característica és:\[\det(A – \lambda I) = \begin{vmatrix}1 – \lambda & 0 & 1 \\0 & a – \lambda & 0 \\a & 0 & a – \lambda\end{vmatrix}\]\[= (a – \lambda) \begin{vmatrix}1 – \lambda & 1 \\a & a – \lambda\end{vmatrix} = (a – \lambda) \left( (1 – \lambda)(a – \lambda) – a \right) = (a – \lambda) \left( \lambda^2 – \lambda (a + 1) \right)\]Així, els valors propis són \(0, a, a + 1\). Aquests tres valors propis són diferents excepte en els casos \(a = 0\) i \(a = -1\). Per tant, si \(a \neq 0\) i \(a \neq -1\), la matriu és diagonalitzable. En el cas \(a = 0\), tenim que:\[A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}\]i els valors propis són \(\lambda_1 = 0\) (doble) i \(\lambda_2 = 1\). Com que \(\text{rang}(A – 0 \cdot I) = \text{rang}(A) = 1\), la dimensió del nucli \(\text{Nul}(A – 0 \cdot I) = 2\), i per tant la matriu és diagonalitzable. Finalment, si \(a = -1\),\[A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & -1 & 0 \\-1 & 0 & -1\end{bmatrix}\]i els valors propis són \(\lambda_1 = 0\) (doble) i \(\lambda_2 = -1\). El rang de \(A – 0 \cdot I\) és \(\text{rang}(A) = 2\), i per tant la matriu no és diagonalitzable.En definitiva, \(A\) és diagonalitzable sempre que \(a \neq -1\).Si \(a = 0\), els subespais propis són:\[E_0 = \text{Nul} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix} = \langle (-1, 0, 1), (0, 1, 0) \rangle\]\[E_1 = \text{Nul} \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & -1\end{bmatrix} = \text{Nul} \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix} = \langle (1, 0, 0) \rangle\]i tenim\[A = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix}^{-1}\]