Càrrega d’un condensador en un circuit RC

Un condensador de capacitat \( C = 40\ \mu F \), inicialment descarregat, es connecta en sèrie amb una resistència \( R = 2\ k\Omega \) i un generador que manté una tensió constant de \( \varepsilon = 200\ V \) entre els seus terminals. Determineu: a) La intensitat inicial \( I_0 \) del corrent. b) L’equació del corrent en funció del temps \( I(t) \). c) L’equació de la càrrega del condensador en funció del temps \( q(t) \). d) El temps necessari perquè el condensador estigui carregat al 99%. e) Representació gràfica de \( I(t) \) i \( q(t) \).

Dades:

• \( C = 40 \times 10^{-6}\ F \)

• \( R = 2000\ \Omega \)

• \( \varepsilon = 200\ V \)

a) Intensitat inicial \( I_0 \): \[I_0 = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{200}{2000} = 0.1\ A = 100\ mA\]

b) Equació del corrent \( I(t) \): \[\tau = RC = 2000 \cdot 40 \times 10^{-6} = 0.08\ s\]\[I(t) = I_0 \cdot e^{-t/\tau} = 0.1 \cdot e^{-t/0.08}\ \text{(A)}\]

c) Equació de la càrrega \( q(t) \): \[q(t) = C \varepsilon (1 – e^{-t/\tau}) = 8 \cdot 10^{-3} (1 – e^{-t/0.08})\ \text{C}\]\[q(t) = 8\ mC \cdot (1 – e^{-t/0.08})\]

d) Temps perquè el condensador estigui carregat al 99%: Volem trobar \( t \) tal que:\[q(t) = 0.99 \cdot C \varepsilon = 0.99 \cdot 8\ mC = 7.92\ mC\]\[1 – e^{-t/\tau} = 0.99 \Rightarrow e^{-t/\tau} = 0.01\Rightarrow -\frac{t}{\tau} = \ln(0.01)\Rightarrow t = -\tau \cdot \ln(0.01) = 0.08 \cdot \ln(100) \approx 0.368\ s\]

e) Gràfica de \( I(t) \) i \( q(t) \):