Càlcul del Corrent en un Circuit RL amb Pila

Una bobina de 5 mH d’autoinducció està connectada en sèrie amb una resistència de 15 Ω i el conjunt es connecta amb una pila de fem 12 V i resistència interna 1 Ω. a) Calculeu el corrent al cap de 100 µs. b) Si tallem la connexió amb la pila, quin serà el corrent al cap de 20 µs després d’assolir el règim estacionari?

Per resoldre aquest problema, analitzarem els dos apartats pas a pas, utilitzant les equacions corresponents als circuits RL (resistència-inductància) i considerant els paràmetres donats:- Inductància: \( L = 5 \, \text{mH} = 5 \times 10^{-3} \, \text{H} \)- Resistència del circuit: \( R = 15 \, \Omega \) (resistència externa) \( + 1 \, \Omega \) (resistència interna de la pila) \( = 16 \, \Omega \)- Força electromotriu (fem): \( \mathcal{E} = 12 \, \text{V} \)- Temps per a l’apartat a): \( t = 100 \, \mu\text{s} = 100 \times 10^{-6} \, \text{s} \)- Temps per a l’apartat b): \( t = 20 \, \mu\text{s} = 20 \times 10^{-6} \, \text{s} \)

Apartat a: Corrent al cap de 100 µs. En un circuit RL en sèrie connectat a una font de tensió (la pila), el corrent \( i(t) \) creix segons l’equació:\[i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R} \left( 1 – e^{-\frac{t}{\tau}} \right)\]on:- \( \frac{\mathcal{E}}{R} \) és el corrent en règim estacionari (\( I_\infty \)).- \( \tau = \frac{L}{R} \) és la constant de temps del circuit.

1. Calculem el corrent en règim estacionari (\( I_\infty \)):\[I_\infty = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{12 \, \text{V}}{16 \, \Omega} = 0.75 \, \text{A}\]

2. Calculem la constant de temps (\( \tau \)): \[\tau = \frac{L}{R} = \frac{5 \times 10^{-3} \, \text{H}}{16 \, \Omega} = 3.125 \times 10^{-4} \, \text{s} = 312.5 \, \mu\text{s}\]

3. Calculem l’exponencial: \[\frac{t}{\tau} = \frac{100 \times 10^{-6} \, \text{s}}{3.125 \times 10^{-4} \, \text{s}} = 0.32\]\[e^{-\frac{t}{\tau}} = e^{-0.32} \approx 0.7261\]

4. Calculem el corrent \( i(t) \):\[i(t) = 0.75 \left( 1 – 0.7261 \right) = 0.75 \times 0.2739 \approx 0.2054 \, \text{A}\]

Resposta a): El corrent al cap de 100 µs és 0.205 A

Apartat b: Corrent al cap de 20 µs després de tallar la connexió. Quan es talla la connexió amb la pila després d’assolir el règim estacionari, el circuit queda format només per la resistència (15 Ω, ja que la resistència interna de la pila ja no forma part del circuit) i la inductància, i el corrent decreix segons:\[i(t) = I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}\]on:

• \( I_0 \) és el corrent inicial (el corrent en règim estacionari abans de tallar la connexió).

• \( \tau = \frac{L}{R} \), però ara \( R = 15 \, \Omega \) (només la resistència externa).

1. Corrent inicial (\( I_0 \)): El corrent en règim estacionari abans de tallar la connexió és el calculat a l’apartat a):\[I_0 = 0.75 \, \text{A}\]

2. Calculem la nova constant de temps (\( \tau \)):\[\tau = \frac{L}{R} = \frac{5 \times 10^{-3} \, \text{H}}{15 \, \Omega} = 3.333 \times 10^{-4} \, \text{s} = 333.3 \, \mu\text{s}\]

3. Calculem l’exponencial:\[\frac{t}{\tau} = \frac{20 \times 10^{-6} \, \text{s}}{3.333 \times 10^{-4} \, \text{s}} = 0.06\]\[e^{-\frac{t}{\tau}} = e^{-0.06} \approx 0.9418\]

4. Calculem el corrent \( i(t) \):\[i(t) = 0.75 \times 0.9418 \approx 0.7064 \, \text{A}\]

Resposta b): El corrent al cap de 20 µs després de tallar la connexió és 0.706 A (arrodonit a tres decimals).

Resum de respostes:

• a) Corrent al cap de 100 µs: 0.205 A.

• b) Corrent al cap de 20 µs després de tallar la connexió: 0.706 A.