Càlcul del Fasor de la Intensitat en un Circuit RC Sèrie

Un circuit RC sèrie està format per una resistència \( R = 80 \, \Omega \) i un condensador \( C = 40 \, \mu\text{F} \). Si s’aplica una tensió alterna \( V(t) = (500 \, \text{V}) \cos(2500t – \pi/9) \), determineu el fasor de la intensitat que hi circula.

Per determinar el fasor de la intensitat en el circuit RC sèrie, seguim aquests passos:

1. Identificació dels paràmetres:

• Resistència: \( R = 80 \, \Omega \)

• Capacitat: \( C = 40 \, \mu\text{F} = 40 \times 10^{-6} \, \text{F} \)

• Tensió alterna: \( V(t) = 500 \cos(2500t – \pi/9) \)

• Amplitud de la tensió: \( V_m = 500 \, \text{V} \)

• Freqüència angular: \( \omega = 2500 \, \text{rad/s} \)

• Fase inicial: \( \phi = -\pi/9 \, \text{rad} \) El fasor de la tensió és: \[ \mathbf{V} = 500 e^{j(-\pi/9)} = 500 \angle -\pi/9 \, \text{V} \]

2. Càlcul de la impedància del circuit: En un circuit RC sèrie, la impedància total \( \mathbf{Z} \) és la suma del fasor de la resistència i la reactància capacitiva: \[ \mathbf{Z} = R + \frac{1}{j \omega C} \] on:

• \( \frac{1}{j} = -j \), així que \( \frac{1}{j \omega C} = \frac{-j}{\omega C} \).

Calculem la reactància capacitiva: \[ X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2500 \cdot 40 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \, \Omega \] Per tant: \[ \frac{1}{j \omega C} = -j X_C = -j 10 \, \Omega \] La impedància total és: \[ \mathbf{Z} = 80 – j 10 \, \Omega \] Expressem la impedància en forma polar:

• Mòdul: \[ |\mathbf{Z}| = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{80^2 + 10^2} = \sqrt{6400 + 100} = \sqrt{6500} \approx 80.62 \, \Omega \]

• Fase: \[ \phi_Z = \tan^{-1}\left(\frac{-X_C}{R}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-10}{80}\right) = \tan^{-1}(-0.125) \approx -0.124 \, \text{rad} \approx -7.13^\circ \] Per tant: \[ \mathbf{Z} = 80.62 \angle -0.124 \, \text{rad} \]

3. Càlcul del fasor de la intensitat: La intensitat en forma de fasor es calcula com: \[ \mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}} \] Substituïm els valors: \[ \mathbf{I} = \frac{500 \angle -\pi/9}{80.62 \angle -0.124} \]

• Mòdul: \[ |\mathbf{I}| = \frac{500}{80.62} \approx 6.20 \, \text{A} \]

• Fase: \[ \phi_I = -\frac{\pi}{9} – (-0.124) = -\frac{\pi}{9} + 0.124 \approx -0.349 + 0.124 = -0.225 \, \text{rad} \approx -12.89^\circ \] Per tant, el fasor de la intensitat és: \[ \mathbf{I} = 6.20 \angle -0.225 \, \text{rad} \] En forma rectangular: \[ \mathbf{I} = 6.20 \cos(-0.225) + j 6.20 \sin(-0.225) \approx 6.20 \cdot 0.975 – j 6.20 \cdot 0.222 \approx 6.045 – j 1.376 \, \text{A} \]

Resposta :El fasor de la intensitat que circula pel circuit és:\[\mathbf{I} \approx 6.20 \angle -0.225 \, \text{rad} \quad \text{o} \quad \mathbf{I} \approx 6.045 – j 1.376 \, \text{A}\]