Càlcul del Valor de R i del Fasor de la Tensió en un Circuit RLC Sèrie

Al circuit de la figura, la intensitat avança \( 63.5^\circ \) respecte a la tensió. Si la pulsació és de \( 400 \, \text{rad/s} \), calculeu el valor de \( R \) i el fasor de la tensió a cada element del circuit, tenint \( \mathbf{V} = (120\sqrt{2} \, \text{V}) \angle 0^\circ \).El circuit està format per:- Un condensador: \( C = 50 \, \mu\text{F} \)- Una inductància: \( L = 25 \, \text{mH} \)- Una resistència desconeguda: \( R \)- Tensió eficaç: \( V_{\text{ef}} = 120 \, \text{V} \), per tant, l’amplitud de la tensió és \( V_m = 120\sqrt{2} \, \text{V} \), i el fasor de la tensió total és \( \mathbf{V} = 120\sqrt{2} \angle 0^\circ \).

Pas 1: Identificació dels paràmetres

• Capacitat: \( C = 50 \, \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \, \text{F} \)

• Inductància: \( L = 25 \, \text{mH} = 25 \times 10^{-3} \, \text{H} \)

• Pulsació: \( \omega = 400 \, \text{rad/s} \)

• Amplitud de la tensió: \( V_m = 120\sqrt{2} \approx 169.71 \, \text{V} \)- Fasor de la tensió total: \( \mathbf{V} = 169.71 \angle 0^\circ \)

• La intensitat avança \( 63.5^\circ \) respecte a la tensió, per tant, el fasor de la intensitat tindrà una fase de \( \phi_I = 63.5^\circ \).

Pas 2: Càlcul de les reactàncies

• Reactància capacitiva (\( X_C \)): \[ X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{400 \cdot 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.02} = 50 \, \Omega \] La impedància del condensador és: \[ \mathbf{Z_C} = -j X_C = -j 50 \, \Omega \]

• Reactància inductiva (\( X_L \)): \[ X_L = \omega L = 400 \cdot 25 \times 10^{-3} = 10 \, \Omega \] La impedància de la inductància és: \[ \mathbf{Z_L} = j X_L = j 10 \, \Omega \]

Pas 3: Càlcul de la impedància total i valor de \( R \). En un circuit RLC sèrie, la impedància total és:\[\mathbf{Z} = R + j (X_L – X_C)\]Substituint:\[X_L – X_C = 10 – 50 = -40 \, \Omega\]Per tant:\[\mathbf{Z} = R – j 40\]Expressem la impedància en forma polar:

• Mòdul: \[ |\mathbf{Z}| = \sqrt{R^2 + (-40)^2} = \sqrt{R^2 + 1600} \]

• Fase: \[ \phi_Z = \tan^{-1}\left(\frac{-(X_L – X_C)}{R}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-(-40)}{R}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-40}{R}\right) \]

Sabem que la intensitat avança \( 63.5^\circ \) respecte a la tensió, per tant, \( \phi_I = 63.5^\circ \). Com \( \mathbf{V} = 169.71 \angle 0^\circ \), la fase de la impedància ha de ser:\[\phi_Z = \phi_V – \phi_I = 0 – 63.5 = -63.5^\circ\]Per tant:\[\tan(-63.5^\circ) = \frac{-40}{R}\]Sabem que \( \tan(63.5^\circ) \approx 2 \), així que \( \tan(-63.5^\circ) = -2 \). Substituint:\[-2 = \frac{-40}{R} \implies 2 = \frac{40}{R} \implies R = \frac{40}{2} = 20 \, \Omega\]Ara podem calcular el mòdul de la impedància:\[|\mathbf{Z}| = \sqrt{20^2 + (-40)^2} = \sqrt{400 + 1600} = \sqrt{2000} \approx 44.72 \, \Omega\]La impedància total és:\[\mathbf{Z} = 44.72 \angle -63.5^\circ\]

Pas 4: Càlcul del fasor de la intensitat. El fasor de la intensitat es calcula com:\[\mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}}\]

• Mòdul: \[ |\mathbf{I}| = \frac{|\mathbf{V}|}{|\mathbf{Z}|} = \frac{169.71}{44.72} \approx 3.795 \, \text{A} \]

• Fase: \[ \phi_I = \phi_V – \phi_Z = 0 – (-63.5) = 63.5^\circ \]Per tant:\[\mathbf{I} = 3.795 \angle 63.5^\circ\]

Pas 5: Càlcul del fasor de la tensió a cada element Sabem que \( \mathbf{V_R} + \mathbf{V_L} + \mathbf{V_C} = \mathbf{V} \), i la intensitat \( \mathbf{I} \) és la mateixa per tots els elements en sèrie.

• Tensió a la resistència (\( \mathbf{V_R} \)): \[ \mathbf{V_R} = \mathbf{I} \cdot R = (3.795 \angle 63.5^\circ) \cdot 20 \] Com \( R \) és real, no afecta la fase: \[ \mathbf{V_R} = (3.795 \cdot 20) \angle 63.5^\circ = 75.9 \angle 63.5^\circ \, \text{V} \]

• Tensió a la inductància (\( \mathbf{V_L} \)): \[ \mathbf{V_L} = \mathbf{I} \cdot \mathbf{Z_L} = (3.795 \angle 63.5^\circ) \cdot (10 \angle 90^\circ) \]

• Mòdul: \[ |\mathbf{V_L}| = 3.795 \cdot 10 = 37.95 \, \text{V} \]

• Fase: \[ \phi_{V_L} = 63.5^\circ + 90^\circ = 153.5^\circ \] Per tant: \[ \mathbf{V_L} = 37.95 \angle 153.5^\circ \, \text{V} \]

• Tensió al condensador (\( \mathbf{V_C} \)): \[ \mathbf{V_C} = \mathbf{I} \cdot \mathbf{Z_C} = (3.795 \angle 63.5^\circ) \cdot (50 \angle -90^\circ) \]

• Mòdul: \[ |\mathbf{V_C}| = 3.795 \cdot 50 = 189.75 \, \text{V} \]

• Fase: \[ \phi_{V_C} = 63.5^\circ – 90^\circ = -26.5^\circ \] Per tant: \[ \mathbf{V_C} = 189.75 \angle -26.5^\circ \, \text{V} \]

Resum de respostes:

• Valor de \( R \): \( R = 20 \, \Omega \)

• Fasors de la tensió:

• \( \mathbf{V_R} = 75.9 \angle 63.5^\circ \, \text{V} \)

• \( \mathbf{V_L} = 37.95 \angle 153.5^\circ \, \text{V} \)

• \( \mathbf{V_C} = 189.75 \angle -26.5^\circ \, \text{V} \)