Càrrega d’un condensador en un circuit RC: càlcul i anàlisi temporal

En un circuit elèctric, quan una bateria subministra una tensió constant \( E \) a un condensador traves d’una resistència \( R \) (cte.), la càrrega instantània \( Q(t) \) del condensador es dedueix a l’equació diferencial lineal de primer ordre:\[R \frac{dQ}{dt} + Q = E\]a) Calculeu \( Q \), considerant el condensador inicialment descarregat, és a dir \( Q(0) = 0 \).b) Calculeu el valor “final” de la càrrega, és a dir, el valor a què tendeix quan \( t \to \infty \).c) Quant de temps serà necessari perquè la càrrega \( Q \) alcanci la meitat del seu valor “final”?

a) L’equació diferencial $R \frac{dQ}{dt} + Q = E$ es resol així:

• L’equació homogènia associada és $R \frac{dQ}{dt} + Q = 0$, amb solució $Q_h = C e^{-\frac{1}{R} t}$.
• Utilitzant variació de paràmetres, suposem $Q = C(t) e^{-\frac{1}{R} t}$. Substituint a l’equació original, s’obté:
  $$\frac{dC(t)}{dt} = \frac{E}{R} e^{\frac{1}{R} t} \implies C(t) = E R e^{\frac{1}{R} t} + K.$$
• Per tant, la solució general és:
  $$Q = C(t) e^{-\frac{1}{R} t} = E R e^{\frac{1}{R} t} \cdot e^{-\frac{1}{R} t} + K e^{-\frac{1}{R} t} = E + K e^{-\frac{1}{R} t}.$$
• AplicANT la condició inicial $Q(0) = 0$:
  $$Q(0) = E + K = 0 \implies K = -E.$$
• Així, la solució particular és:
  $$Q = E (1 – e^{-\frac{1}{R} t}).$$

b) El valor “final” de la càrrega quan $t \to \infty$:
$$\lim_{t \to \infty} Q = \lim_{t \to \infty} E (1 – e^{-\frac{1}{R} t}) = E \cdot (1 – 0) = E.$$

c) Per trobar el temps $t$ quan la càrrega assoleix $\frac{E}{2}$:
$$\frac{E}{2} = E (1 – e^{-\frac{1}{R} t}) \implies \frac{1}{2} = 1 – e^{-\frac{1}{R} t} \implies e^{-\frac{1}{R} t} = \frac{1}{2}.$$
Prenent el logaritme natural:
$$-\frac{1}{R} t = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2 \implies \frac{1}{R} t = \ln 2 \implies t = R \ln 2.$$