Camp elèctric a l’eix y generat per dues càrregues simètriques a l’eix x

Dues càrregues puntuals positives de mateix valor $+q$ estan situades simètricament sobre l’eix $x$, als punts $(a, 0, 0)$ i $(-a, 0, 0)$. a) Calcula el vector camp elèctric $\vec{E}$ en un punt de l’eix $y$, a una distància $R$ de l’origen. b) Determina la distància $R$ per la qual el mòdul del camp elèctric en l’eix $y$ és màxim.

Tenim dues càrregues $+q$ als punts $(-a, 0, 0)$ i $(+a, 0, 0)$ sobre l’eix x.

• Volem calcular el camp elèctric en un punt sobre l’eix y, a una distància $R$ de l’origen: punt $P = (0, R, 0)$.

a) Camp elèctric al punt $P = (0, R, 0)$. Per simetria:

• Les components x dels camps de les dues càrregues es cancel·len.

• Les components y es sumen.

Distància de cada càrrega a $P$:$$r = \sqrt{a^2 + R^2}$$

Camp generat per una sola càrrega $q$:$$E = \frac{kq}{r^2} = \frac{kq}{a^2 + R^2}$$Però només ens interessa la component vertical (y):$$E_y = E \cdot \cos\theta = \frac{kq}{a^2 + R^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{a^2 + R^2}} = \frac{kqR}{(a^2 + R^2)^{3/2}}$$

Com que les dues càrregues contribueixen igual:$$E_{\text{total},y} = 2 \cdot \frac{kqR}{(a^2 + R^2)^{3/2}}$$

Resultat del camp elèctric:

$$\boxed{\vec{E} = \left( 0,\ \frac{2kqR}{(a^2 + R^2)^{3/2}},\ 0 \right)}$$

b) Mòdul màxim del camp elèctric. Volem maximitzar:$$E(R) = \frac{2kqR}{(a^2 + R^2)^{3/2}}$$

Derivem i igualem a 0:1. Derivada (amb regla del quocient o producte + cadenes):$$f(R) = \frac{R}{(a^2 + R^2)^{3/2}}\Rightarrow f'(R) = \frac{(a^2 + R^2)^{3/2} \cdot 1 – R \cdot \frac{3}{2}(a^2 + R^2)^{1/2} \cdot 2R}{(a^2 + R^2)^3}$$Simplificant:$$f'(R) = \frac{(a^2 + R^2)^{1/2} \cdot [ (a^2 + R^2) – 3R^2 ] }{(a^2 + R^2)^3}$$Posant el numerador igual a zero:$$(a^2 + R^2) – 3R^2 = 0 \Rightarrow a^2 = 2R^2 \Rightarrow R = \frac{a}{\sqrt{2}}$$

Resultat final:

a)$$\vec{E}(0, R) = \left( 0,\ \frac{2kqR}{(a^2 + R^2)^{3/2}},\ 0 \right)$$

b)$$\boxed{R = \frac{a}{\sqrt{2}}} \quad \text{(mòdul màxim del camp)}$$